Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


1. Als voor een matrix a geldt

Dovnload 57.47 Kb.

1. Als voor een matrix a geldt



Datum21.09.2017
Grootte57.47 Kb.

Dovnload 57.47 Kb.

LINEAIRE ALGEBRA
QUIZ 3

1. Als voor een matrix A geldt:


mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3
dan is A5 gelegen in Span(I,A,A2,A3,A4).

2. Als voor matrices A,B,C geldt dat ABC = 1 dan:


((AB)m Cl) = { m-l : in (AB)}

3. Voor elke inverteerbare vierkante nxn matrix A, met inverse B, en voor elke veelterm p bestaan er getallen ai zodat :




4. Voor elke vierkante nxn matrix en voor elke veelterm p van graad n+1 bestaan er getallen ai zodat :


5. Er bestaan complexe matrices A (verschillend van de 0-matrix) waarvoor A-I inverteerbaar is voor elke met || <= 1.

6. A Cmxn en Q is unitair in Cmxn. Welke van volgende gelijkheden is steeds voldaan:


a) ||QA||1 = ||A||1
b) ||QA||2 = ||A||2
c) ||QA|| = ||A||
d) ||QA||F = ||A||F

7. Vormt de onderstaande afbeelding < , > : U -> R een inwendig product ?


< u,v > = 2u1 u2 +3v1 v2
met u = (u1 ,u2 ) en v = (v1 ,v2 ) elementen van de vectorruimte U=R 2

8. Het product van twee unitaire matrices vormt opnieuw een unitaire matrix

9. Zij A een positief definiete matrix en B hermitisch dan bestaat (ABAB) enkel uit positieve getallen.

10. Zij T een lineaire afbeelding C3 -> C3 met T(x,y,z) = (-x,-z,y). Bepaal de eigenwaarden i van T.



11. De matrix A met

is een element van C3x3.


Bepaal een unitaire matrix U (behorende tot C3x3), zodanig dat U-1AU een diagonaalmatrix is.




12. voor


Bepaal L.

13. Bepaal de Gramse matrix van de basisvectoren Eij (met (Eij)kl = ik jl) van R2x2


waarbij het inproduct van A en B gedefinieerd is door trace(AT B).

14. Bepaal voor de onderstaande matrix A een bovendriehoeksmatrix B en een unitaire matrix Q zodanig dat B = QHAQ.




15. Als voor matrices A,B,C geldt dat ABC = 1 dan: ((AB)m Cl) = { m-l : in (AB)}

16. Als voor een matrix A: kA (x)=(x-2)5, mA (x)=(x-2)3 en r2 =2 dan is, op een permutatie van de blokken na:




17. Als T een endomorfisme is op een vectorruimte V , p een veelterm uit R2 [x] en een reëel getal zodat p() een eigenwaarde is van p(T) dan is een eigenwaarde van T.

18. Als voor een matrix A geldt: kA (x) = x (x-1)2 (x-2)3 dan is A niet diagonaliseerbaar.


19. Als A en B behoren tot Rnxn dan hebben AB en BA dezelfde verzameling eigenwaarden en eigenvectoren

20. Vormt de onderstaande afbeelding < , > : U -> R een scalair product ?
< p(x),q(x) > = a0 bn +a1 bn-1 +...+an-1 b1 +an b0
met p(x) = a0 +a1 x+...+an xn
en q(x) = b0 +b1 x+...+bn xn
elementen van U=Rn [x].

21. Waar of vals: ||u vH||F = ||u||F. ||v||F voor alle u,v in Knx1, n>=2.

22. Het begrip "orthogonaal equivalent" vormt een equivalentierelatie op Rn × n.

23. Als A een normale matrix is en p een polynoom dan geldt: ||p(A)||F = p(||A||F)

24. Zij T een lineaire afbeelding C3 -> C3 met T(x,y,z) = (3 x+z,3y-z,3z-y). Bepaal de eigenwaarden i van T.

25. Bepaal een matrix Q zodat Q-1AQ gelijk is aan een diagonaalmatrix


26. Bereken m.b.v. de stelling van Cayley-Hamilton de volgende elementen van B = An als



  1. B2,2

  2. B3,1

  3. B2,3

27. Zij P [-1,1] de verzameling van veeltermfuncties met reële coëfficiënten die gedefinieerd zijn op het interval [-1,1].

Ga na dat

een inwendig product definieert op P [-1,1]. Als P0 (x)=1, construeer dan stapsgewijs veeltermen P1 (x), P2 (x), P3 (x) van 1ste, 2de en 3de graad, zó dat Pi (1)=1 en zó dat (P0 , ..., P3 ) een orthogonaal stel vormt.




  1. Gevraagd: P1

  2. Gevraagd: P2

  3. Gevraagd: P3

28. Als voor een matrix A geldt: mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3 dan is A6 gelegen in Span(I,A,A2,A3,A4,A5).

29. Als A een anti-symmetrische matrix is dan is de som van de eigenwaarden van A gelijk aan 0.

30. Als voor een matrix A geldt: mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3 dan is A5 gelegen in Span(I,A,A2,A3,A4).

31. Een matrix is inverteerbaar als 0 geen wortel is van de minimale veelterm

32. Elke unitaire benedendriehoeksmatrix is diagonaal

33. Zij V een vectorruimte en (m ≥ 2)
f: Vm -> C: (v1 ,v2 ,...,vm ) -> i≠j i ,vj >
dan is U unitair a.s.a. f(Uv1 ,Uv2 ,...,Uvm ) = f(v1 ,v2 ,...,vm ), Voor alle v1 ,v2 ,...,vm in V.

34. Als A een normale matrix is en p een polynoom dan geldt: ||p(A)||2 = p(||A||2)



35.

Zij V de eigenruimte van B horend bij =-2. Bepaal een basis v1 ,v2 van V
36.

en C(A) = {B behorende tot R2x2 | BA = AB} een deelruimte van R2x2. De vectorruimte R2x2 wordt voorzien van het inproduct < X,Y > = tr(XtY). Aan welke gelijkheden voldoen de elementen van de matrix


opdat de orthogonale projectie van X op de deelruimte C(A) gelijk is aan A ? Geef de vergelijkingen in de vorm {x=...,y=...,...}.

37. Bepaal voor de onderstaande matrix A een bovendriehoeksmatrix B en een unitaire matrix Q zodanig dat B = QHAQ




38. De som van een diagonaalmatrix en een diagonaliseerbare matrix is diagonaliseerbaar

39. Als een matrix A inverteerbaar is met inverse B, dan hebben A en B dezelfde eigenvectoren.

40. Zij V een vectorruimte en (m ≥ 2)
f: Vm -> C: (v1 ,v2 ,...,vm ) -> i≠j i ,vj >
dan is U unitair a.s.a.
f(Uv1 ,Uv2 ,...,Uvm ) = f(v1 ,v2 ,...,vm ), Voor alle v1 ,v2 ,...,vm in V.

41. ||u vH||F = ||u||F. ||v||F voor alle u,v in Knx1, n>=2.

42. Als A en B normale matrices zijn dan geldt: A + B normaal a.s.a. Im(ABH)=Im(AHB).
Met Im(A) de beeldruimte van A.

43. Gegeven : T : R2x2 -> R2x2 met T(A) = AT.





  1. Bepaal de eigenwaarden i van deze lineaire transformatie

  2. Duid nu de elementen aan van R2x2 die geen eigenvectoren zijn van T:

44. Duid aan wat correct is: de matrix




is:




45. Zijn S1 en S2 de matrixvoorstellingen van de reflecties t.o.v. de vlakken 1 en 2 met respectievelijke vergelijkingen x-2z = 0 en –2x-2y+z = 0.




  1. Toon aan dat S2 o S1 een rotatie is. Bepaal de rotatie-as v en de rotatie-hoek .

  2. bepaal cos()

46. Als 0 in T 4 dan is 0 in T .

47. Er bestaan antisymmetrische matrices A in R2x2 zodat A12 – 2 A² + 5 = 0

48. Als T een endomorfisme is op een vectorruimte V , p een veelterm uit R2 [x] en een reëel getal zodat p() een eigenwaarde is van p(T) dan is een eigenwaarde van T.

49. Opdat een endomorfisme T diagonaliseerbaar zou zijn moet T twee aan twee verschillende eigenwaarden hebben

50. Elke unitaire benedendriehoeksmatrix is diagonaal

51. Bestaat er een reële symmetrische matrix met eigenvectoren [ 1, 2, 2 ], [ 2,-2, 1] en [-2,-1, 3] ?

52. Duid aan wat correct is: de matrix





is:

OPLOSSINGEN




  1. vals

  2. waar

  3. waar

  4. waar

  5. waar

  6. b en d

  7. nee

  8. waar

  9. waar

  10. i, -i, -1

























  1. waar

  2. vals

  3. vals

  4. vals

  5. vals

  6. nee

  7. waar

  8. waar

  9. vals

  10. 2, 3, 4









  1. a.



26. b.


26. c.




  1. a. x

27. b.
27. c.


  1. waar

  2. waar

  3. waar

  4. waar

  5. waar

  6. waar

  7. vals








  1. { x = x, y = y, u = 2-x, z= 2-y }









  1. vals

  2. waar

  3. waar

  4. waar

  5. vals

  6. a. –1, 1, 1, 1

43. b. c en d

  1. Teacher's answer is:
    .

  2. a. [ 4, 3, -2 ]

45. b. –13 / 45

  1. waar

  2. vals

  3. vals

  4. vals

  5. waar

  6. nee

  7. Teacher's answer is:
    .


Dovnload 57.47 Kb.