Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


1. Basiskennis

Dovnload 162.43 Kb.

1. Basiskennis



Pagina1/3
Datum14.09.2017
Grootte162.43 Kb.

Dovnload 162.43 Kb.
  1   2   3

Inleiding
Wiskunde is een belangrijke basisvaardigheid voor het verrichten van wetenschappelijk onderzoek, ook in de aardwetenschappen. Het beschrijven en ontdekken van verbanden tussen waarnemingen die je bijvoorbeeld in het veld gedaan hebt, de berekening van ouderdommen uit chemische analyses aan gesteenten of archeologische materialen, het nabootsen van allerlei geologische processen met behulp van computermodellen, de berekening van het effect van een bepaald spanningsveld op de deformatie van de lithosfeer: het zijn allemaal zaken die je niet kunt doen zonder wiskunde te gebruiken.
Deze cursus heeft als doel je een basis in de wiskunde te geven die je in het verdere verloop van je studie en loopbaan kunt gebruiken. De wiskunde die je op de middelbare school gehad hebt wordt opgefrist, en we gaan een paar stappen verder. Het accent ligt op het aanleren van bepaalde vaardigheden: hoe los je een differentiaalvergelijking op, hoe voer je diverse matrixberekeningen uit, etc. Ter illustratie zullen enkele toepassingen in de geologie worden uitgewerkt. In het tweede jaar volgt een vervolgcursus die volledig gewijd is aan toepassingen van wis- en natuurkunde in de aardwetenschappen.
Het boek dat voor deze eerstejaarscursus gebruikt wordt is 'Wiskundige Methoden Toegepast', van J. Grasman. Aangezien in voorgaande jaren echter gebleken is dat studenten dit boek niet altijd even duidelijk vinden, en vooral dat er vaak met te grote stappen door de stof heen gegaan wordt, is besloten als aanvulling dit dictaat te maken. Hierin zal je dus GEEN nieuwe leerstof vinden. De leerstof uit het boek wordt slechts extra toegelicht of soms op een andere manier uitgelegd.

Deze syllabus wordt dit jaar voor het eerst gebruikt, en is bovendien nog niet geheel af. Commentaren en suggesties ter verbetering zijn welkom !
1. Basiskennis
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vaak blijkt veronderstelde basiskennis die je op de middelbare school hebt opgedaan te ver weggezakt te zijn om de colleges goed te kunnen volgen. In dit hoofdstuk zijn de belangrijkste zaken die je geacht wordt reeds te weten nog eens kort samengevat.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.1 Breuken
Regels voor het werken met breuken worden in het algemeen bekend verondersteld. Desalniettemin blijken bij het werkcollege en ook bij tentamens vele fouten in het onjuist omgaan met breuken te schuilen. Daarom nog eenmaal de feiten op een rij.
1
) Twee breuken vermenigvuldigen doe je door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen, en de noemers ook. Ofwel:
2) Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde, ofwel:


3) Als je een breuk op een andere manier wil noteren zonder z'n waarde te veranderen (bijv. omdat je de noemer gelijk wil maken aan die van een andere breuk), kan je dit doen door de teller en de noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen (of door hetzelfde getal te delen).

Met andere woorden :


4
) Deze regel gaat niet op voor optellen of aftrekken ! Met andere woorden:


5) Om twee breuken bij elkaar op te tellen (of van elkaar af te trekken) dien je eerst de noemers gelijk te maken. Daarna tel je de tellers gewoon bij elkaar op.

D
us bijvoorbeeld:


1.2 Differentieren
Een functie (bijv. f) is een voorschrift, dat bij een gegeven element (bijv. x of t) een ander element (bijv. y of N) definieert. Zo is f(x) = 2x de functie die bij elk origineel x het beeld y beschrijft - waarbij y dus in dit geval 2 keer zo groot is als x. Bij elke functie hoort vermeld te worden uit welke getallenverzameling zowel het origineel als het beeld komen (bijv. , ,  - zie blz. 4 van het boek). In het geval van de functie f(x) = 2x kan gelden dat x en y.
In Fig 1.1 is de grafiek getekend van een hoogte h als functie van een horizontale afstand a.

De afgeleide van een functie is de helling van de raaklijn aan de functie, in de grafiek.

Deze helling wordt uitgedrukt als het verschil in 'hoogte' (dus h2-h1 in Fig. 1.1) gedeeld door het verschil in 'afstand' (a2-a1 in Fig. 1.1). Omdat de hoogte zelf weer een functie van de afstand is, dus h2 = h(a2) en h1 = h(a1), krijgt de formule de vorm:
F

iguur 1.1

De lokale helling op punt a (dus de helling van raaklijn in punt a) vinden we als da oneindig klein wordt - en is dus de afgeide van h in a:



Met behulp van deze formule zijn de afgeleiden van vele functies af te leiden.


Voorbeeld I:

Voorbeeld II:



De afgeleiden van de meest voorkomende functies zijn gegeven in het boek op blz. 224 en 225 (standaardafgeleiden). Met behulp van deze afgeleiden en de rekenregels op blz. 14 van het boek zijn zeer veel andere afgeleiden te bepalen.



1.3 Goniometrie





Figuur 1.2
Beschouwen we de eenheidscirkel met straal r = 1, met z'n middelpunt in de oorsprong van een x-y assenstelsel, en tekenen we een rechte lijn van het middelpunt naar een willekeurig punt P op de cirkel, dan geldt:
1) De x-component van de lijn is gelijk aan: cos()

2) De y-component van de lijn is gelijk aan: sin()

3) De lengte van de lijn is gelijk aan: 1
waarbij  de hoek is tussen de lijn en de x-as.
Heeft de straal lengte r in plaats van lengte 1, dan nemen alle drie de compontenten natuurlijk toe met een factor r. Voor de driehoek OAP geldt derhalve:
OA = 'aanliggende zijde' = rcos()

AP = 'overstaande zijde' = rsin()

OP = 'schuine zijde' = r
Ofwel: cos() = OA/OP (= aanliggende zijde / schuine zijde)

sin() = AP/OP (= overstaande zijde / schuine zijde)

Tevens geldt:

tan() = AP/OA (= overstaande zijde / aanliggende zijde) = sin() / cos()


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Figuren van de goniometrische functies zijn te zien op blz. 7 van het boek. Deze laten dus zien hoe sin() en cos() veranderen als punt p een 'rondje draait' over de eenheidscirkel.
De hoek  kan beschreven worden in graden of in radialen. De gehele cirkel omspant totaal 360 ofwel 2 radialen. Hierna begint punt p opnieuw met z'n rondje, en herhalen de sinus- en cosinus-functies zich. De functies zijn dus periodiek, met periode 2.


radialen

graden

1/3 

1/2 


2/3 


4/3 

3/2 

5/3 


2

60

90

120



180
240

270


300

360

De afgeleide van sin() is cos(), de afgeleide van cos() is -sin().
Weet je niet meer zeker of je het min-teken goed hebt, dan kan je het simpel controleren mbv de grafieken. Zie Fig. 1.3 op blz. 7: Als sin() stijgt is cos() positief, als sin() daalt is cos() negatief, etc.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Golflengte, golfgetal, periode en frequentie
De functie f(x) = sin(x) heeft een golflengte 2: Elke keer als we langs de x-as de afstand 2 hebben afgelgd begint de functie weer opnieuw. Ditzelfde geldt voor de cosinus.

Vraag: Wat is nu de golflengte van de functie f(x)= sin(2x) ?

Antwoord: .

Vraag: En van de functie f(x) =sin(1/4 x) ?

Antwoord: 8
Kennelijk geldt voor de functie f(x) = sin(kx) dat k aangeeft hoevaak de functie binnen het interval 2 past. k noemen we het golfgetal.
De harmonische functies (dus: de sinus- en cosinusfunctie) worden vaak gebruikt met de tijd t als argument. Veel natuurlijke verschijnselelen vertonen immers periodiek gedrag (denk bijvoorbeeld aan de draaiing van de aarde om de zon, of aan aardbevingsgolven die zich voortplanten door de aarde). In dit geval gebruiken we de volgende terminologie: Voor de functie f(t) = cos(t) geldt dat de periode T gelijk is aan 2/ - dat is dus het ijdsinterval waarna de beweging steeds weer opnieuw begint. De frequentie is gelijk aan 1/T - dus /2, terwijl  zelf de hoekfrequentie wordt genoemd.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.4 Exponenten en logaritmes

Als y = ax dan geldt dat x = alog(y)


Of, met andere woorden: f(x) = alog(x) betekent dat f(x) de macht is waartoe je a moet verheffen om x te krijgen.
Een zeer bijzondere exponentiële functie is f(x) = ex , waarbij e een getal voorstelt.

f(x) = ex is namelijk de exponentiële functie waarvoor geldt dat z'n afgeleide f'(x) gelijk is aan de functie f(x) zelf. De waarde van e is ongeveer 2.718.
Een speciale variant van de logaritmische functie is de ln ofwel 'natuurlijke logaritme'.

ln(y) is niks anders dan een andere schrijfwijze voor elog(y)
Met andere woorden : y = ex x = elog(y) = ln(y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Afgeleiden van logaritmische functies:
f(x) = exf '(x) = ex
f(x) = ln(x) f '(x) = 1/x
f(x) = ax f '(x) = ln(a)a x
f(x) = alog(x) f'(x) = 1/ (xln(a))
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Op blz. 19 van het boek vind je 6 rekenregels voor logaritmen.

Deze zijn belangrijk, en zullen vaak terugkomen gedurende deze cursus !




De rekenregels geïllustreerd:
I) ax ay = ax+y : (aa)(aaa) = (aaaaa)
II) (ax) y = axy : (aa)(aa)(aa) = (aaaaaa)
------------------------------------------------------------------------------
III) a log(xy) = a log(x) + a log(y)
checken :

a a log(xy) = xy

a a log(x) + a log(y) = a a log(x) a a log(y) = xy (gebruik I)

---------------------------------------------------------------------------------
IV) a log(xb) = b a log(x)
checken :

a a log(x ) = xb

a b a log(x) = (a a log(x)) b = xb (gebruik II)

--------------------------------------------------------------------------------
V) a log(b) = clog(b)/ clog(a)
dan geldt: c log(a) alog(b) = clog(b)

checken :

c c log(a ) a log(b) = (c c log(a )) a log(b) = a a log(b) =b

c c log(b )=b (gebruik II)

-------------------------------------------------------------------------------


VI) a a log(b) = b (per definitie)

--------------------------------------------------------------------------------


1.5 Opgaven bij Hoofdstuk 1:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





1) Breuken:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Goniometrie:
A.

Teken, in één grafiek, de volgende functies:


1) f(x) = cos(x)

2) g(x) = cos(3x)

3) h(x) = 2cos(1/2 x)

4) k(x) = g'(x)


B.

Je bent op veldwerk, waar je langs een helling op constante hoogte-intervallen gesteentemonsters moet nemen (om thuis in het lab te analyseren). Het gebied is echter nogal ontoegankelijk. Je bevindt je op een vlak dat 30º helt , in de richting 65º NE (zie figuur), waarlangs je totaal 100 meter hoogteverschil moet overbruggen.




a) Wat is de horizontale afstand (hemelsbreed) tussen het begin- en het eindpunt ?

Het enige begaanbare pad loopt echter eerst recht naar het oosten, en dan recht naar het noorden (zie figuur).

b) Wat is het overbrugde hoogteverschil als je op het kruispunt bent aangekomen ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Exponenten en logaritmes: (grotendeels uit: Wiskunde in Werking, M. de Gee, 1995)
De kracht van een aardbeving kan op verschillende manieren worden aangegeven. De schaal van Mercalli (uit 1912) is gebaseerd op ooggetuigenverslagen van de gevolgen van een beving. Deze schaal is nu vrijwel verdrongen door de schaal van C.F.Richter (uit 1935), die berust op metingen. De magnitude M op de schaal van Richter is gedefinieerd met behulp van de versnelling a (in m/s2) in de zwaarst getroffen plek, het epicentrum. Het verband is:

M = 1.8 log(a) + 5.8

Volgens een theorie die overigens nog ter discussie staat wordt de energie E van een aardbeving gegeven door:

log (E) = 1.5 M + 4.4.

In onderstaande tabel geven we de schalen van Mercalli (met bijbehorende verschijnselen) en Richter.




Mercalli

naam

verschijnselen

Richter

I




alleen meetbaar met instrumenten

2

II

Zeer licht

wordt zelden gevoeld

2,5

III

Licht

trilling als van verkeer

3

IV

Matig

deuren en ramen rammelen

3,7

V

Vrij sterk

schilderijen slingeren, klokken blijven stilstaan

4,3

VI

Sterk

voorwerpen vallen om, bomen bewegen

5

VII

Zeer sterk

schade aan veel gebouwen, schoorstenen breken

5,5

VIII

Vernielend

paniek, algemene schade aan gebouwen

6

IX

Verwoestend

gebouwen zwaar beschadigd, riolen breken

6,7

X

Vernietigend

veel gebouwen verwoest, scheuren in de aarde, schade aan dijken

7,3

XI

Catastrofaal

algemene verwoesting van gebouwen, rails buigen, kabels breken

8

XII

Zeer catastrofaal

alles verwoest, rotsen scheuren, het landschap verandert

8,5




  1. Leidt het verband af tussen de energie E van een aardbeving en de versnelling a die in het epicentrum is geregistreerd.

  2. Teken M als functie van a op (enkel-)logaritmisch papier. Let op je keuze van de assen !

  3. Hoeveel malen meer energie heeft een verwoestende aardbeving dan een sterke aardbeving ?

  4. De zwaarste aardbevingen in Nederland in de vorige eeuw waren die in Uden in november 1932 (kracht van 5 op de schaal van Richter) en die bij Roermond in april 1992 (kracht van 5.7 op de schaal van Richter). Met hoeveel malen overtrof de versnelling van de beving in Roermond die van Uden ??



2. Integreren/primitiveren
2.1 Betekenis

V
oorbeeld 1

Stel: Een bus rijdt eerst een kwartier lang 30 km/uur, dan 1 uur en 3 kwartier 70 km/uur, en tenslotte 1 uur lang 100 km/uur. Welke afstand heeft de bus nu afgelegd ?



Antwoord

0.25 uur x 30 km/uur + 1.75 uur x 70 km/uur + 1 uur x 100 km/uur = 230 km. In de grafiek die de snelheid uitzet tegen de tijd (zie Fig 2.1) zien we dat dit precies het oppervlakte onder de grafiek is. (De afgelegde afstand op elk willekeurig moment staat uitgezet in het plaatje daaronder).


Opdracht: Wat is in Fig. 2.1 het verband tussen de bovenste grafiek en de afgeleide van de onderste grafiek ?
Voorbeeld 2:

Dezelfde bus gaat wederom de weg op, maar rijdt nu met variabele snelheid, zoals te zien in Fig. 2.2. Hoe geef je nu een schatting van de afgelegde afstand ?



Antwoord

D

eze wordt in principe op dezelfde manier berekend als in voorbeeld 1- alleen worden dit keer eerst kleine tijdsintervallen gedefinieerd waarin de gemiddelde snelheid min of meer constant kan worden geacht. De totale afstand is wederom de optelsom van de tijsduur x de snelheid voor elk tijdsinterval - en wordt dus wederom gerepresenteerd door de oppervlakte onder de grafiek (Fig. 2.2)


Figuur 2.1 Figuur 2.2

Als de snelheid bekend is als functie van de tijd (s = s(t)) kan dit als volgt wiskundig geformuleerd worden:




waarbij t de breedte van het tijdsinterval aangeeft en m het totale aantal tijdsintervallen voorstelt. De afgelegde afstand wordt op deze manier echter niet helemaal exact bepaald: ook binnen interval t kan de snelheid immers nog varieren. Hoe kleiner t, (en hoe meer intervallen je dus hebt), hoe nauwkeuriger je antwoord zal zijn. Als t naar 0 gaat, en het aantal intervallen dus naar , zijn we aan het integreren.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Algemener:
D
e oppervlakte F(x) onder de grafiek van de functie f(x), begrensd door de lijnen x=a en x=b wordt berekend door het interval in m kolommen van breedte x te verdelen, hiervan de oppervlakten te bepalen (per kolom: opp = f(x)·x) en dan de limiet te bepalen voor m en x 0. Dus:
De notatiewijze hiervoor is :



F(x), de oppervlakte als functie van x, is dus een cumulatieve functie. Als je 1 kolommetje dx extra meeneemt, wordt de oppervlakte hiervan (f(x)dx) gewoon bij het voorgaande deel opgeteld:



Ofwel:


Hetgeen in het limietgeval (dx 0 ) betekent dat


F'(x) = f(x)
F(x) heet de primitieve van f(x).
Primitiveren is dus in feite het omgekeerde van differentiëren !!!!

2.2 Berekenen van integralen
LET OP :
Als F'(x) = f(x), dan geldt ook dat (F(x) + C)' = f(x) (voor willekeurige constante C)

Dus: de primitieve van f(x) = F(x) + C

Hoe bereken je een integraal ?


Een integraal bereken je dus door de primitieve van de betreffende functie te bepalen, de waarde van de primitieve voor beide grenzen te berekenen, en deze van elkaar af te trekken.



2.3 Primitiveren
Standaard-primitieven:
De primitieven van enkele veel voorkomende ('standaard')-functies (zie ook App.C uit het boek!):


Met behulp van deze standaard-primitieven en enkele rekenregels, zijn primitieven van ingewikkelder functies vaak ook te bepalen. De betreffende rekenregels zijn gebaseerd op de rekenregels voor differentieren :


1) De primitieve van een som van 2 functies f(x) = g(x) is de som van hun afzonderlijke primitieven : F(x) + G(x)

2) De primitieve van een constante maal een functie a f(x) is dezelfde constante maal de primitieve van deze functie : a F(x)



  • Wat doe je nu als de te primitiveren functie bijna een standaardfunctie is, maar het argument nog met een constante vermenigvuldigd wordt ?

  • Dan gebruik je een vermenigvuldigingsconstante, waarvan je de waarde kan vinden door te differentieren.

Bijv: f(x) = e3x


1) 'Gok' : F(x) = k e3x
2) Bepaal F'(x) : F'(x) = 3 k e3x
Je weet: dat moet gelden: f(x) = F'(x) , dus e3x = 3 k e3x
3) Bepaal k : dan geldt dus : k = 1/3 F(x) = 1/3 e3x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ander voorbeeld:

-

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Verdere rekenregels:
2.4 Partiële integratie.
De formule voor partiële integratie is gebaseerd op de productregel bij het differentiëren, en wordt afgeleid op blz. 40 van het boek. Er zijn twee manieren om deze formule op te schrijven - ze komen op hetzelfde neer.


Wat je dus moet doen:

1) Je functie is het product van 2 andere functies. Bepaal van de ene de afgeleide, en van de andere de primitieve.

2) Vul nu de gewenste formule in.


Belangrijk: Bedenk eerst welke functie je het beste kan differentieren en welke je het beste kan primitiveren. M.a.w. : Maak de juiste keuze voor f en g !

Voorbeeld :
Bepaal de primitieve van de functie :
h(x) = sin(x)2x
Poging 1:
Schrijfwijze 1: Schrijfwijze 2:

f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)

g'(x) = 2x g(x) = x2 g(x) = 2x G(x) = x2
I
nvullen formule geeft:
De term die nu alsnog geintegreerd moet worden is nog ingewikkelder geworden dan hij al was.

De poging is mislukt.


Poging 2:
Kiezen we f en g andersom, dan geldt :
Schrijfwijze 1: Schrijfwijze 2:

f(x) = 2x f'(x) = 2 f(x) = 2x f'(x) = 2

g'(x) = sin(x) g(x) = -cos(x) g(x) = sin(x) G(x) = -cos(x)
Invullen formule (manier 2) geeft:

W
aarmee de poging gelukt is.


In het algemeen kan je termen met een sinus, cosinus of e-macht meestal beter als g kiezen, en termen met xn erin als f. Immers: e-machten, sinussen en cosinussen blijven min of meer gelijk bij integreren of primitiveren, terwijl bij xn de macht verhoogd wordt bij primitiveren, en juist verlaagd wordt bij differentieren !

2.5 Substitutie.
De substitutieregel is gerelateerd aan de kettingregel, en staat uitgelegd op blz. 41 en 42 van het boek. Waar het op neer komt:
Soms 'bevat' de te primitiveren functie (bijv. h) zelf nog een andere functie (bijv. u). Door deze tijdelijk te vervangen door een symbool wordt de te primitiveren functie overzichtelijker. Echter: Je krijgt dan ook met de afgeleide van u te maken !
Waarom ?
Stel:
De te primitiveren functie h(t) luidt : h(t) = 1/2t

We herschrijven dit mbv substitutie, en definieren u(t) = 2t


D
it resulteert in
  1   2   3

  • 1. Basiskennis
  • Mercalli naam verschijnselen Richter
  • 2. Integreren/primitiveren
  • Primitiveren is dus in feite het omgekeerde van differentiëren !!!! 2.2 Berekenen van integralen LET OP

  • Dovnload 162.43 Kb.