Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina1/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8




3 Discrete kansverdelingen



Inhoudsopgave
3.0 Verschillende mogelijkheden 3

3.1 Kansverdelingen 4

3.2 Verwachtingswaarde en standaardafwijking 6

3.3 Zonder terugleggen 22

3.4 Wel/Niet 24

3.5 De variantie 31

3.6 Extra opgaven 35

3.7 Grotere opgaven 40

3.8 Samenvatting Verdelingen 45

Bij dit hoofdstuk hoort een digimap. Daarin staan opgaven waarbij er iets met ict valt te beleven.

Ze hebben hetzelfde nummer als de bijbehorende opgave in deze tekst. Je herkent ze aan het icoontje . Via de digimap kom je bij VU-Statistiek of op een website terecht.

De opgaven in de digimap kunnen op drie manieren worden gebruikt:



  • niet,

  • aanvullend op de corresponderende opgave in deze tekst,

  • vervangend voor de corresponderende opgave in deze tekst.



Colofon
© 2010 cTWO

Experimentele uitgave Kansrekening en Statistiek, vwo, wiskunde A en C

versie 3 (dec 2012)

auteurs Leon van den Broek, Maris van Haandel

digiboek Carel van de Giessen

met medewerking van Simon Biesheuvel, Piet Versnel, Peter van Wijk






3.0 Verschillende mogelijkheden

1 Frank houdt erg veel van strips. Vooral Guust Flater vindt hij geweldig. Er zijn zestien Guust-albums; daarvan heeft Frank er al negen. Op zijn verjaardag komen twee tantes op bezoek. Elk van de tantes heeft een album van Guust voor hem meegenomen. Alleen hebben zij niet van tevo­ren gevraagd welke albums hij nog niet had. De tantes hebben ook niet van tevoren met elkaar overlegd. Het is dus mogelijk dat Frank een van de albums of zelfs beide albums al heeft.



a. Bereken de kans dat hij beide albums al heeft.

b. Bereken de kans dat hij twee verschillende nieuwe albums krijgt.

c. Maak een kanstabel voor de aantallen (verschillende) albums dat Frank na zijn verjaardag heeft.


Aantal albums

9

10

11

Kans

…..

…..

…..



Veronderstel dat de tantes van tevoren met elkaar overlegd heb­ben, maar niet met Frank. Ze hebben dan dus verschillende albums gekocht.



d. Maak ook in dit geval de kanstabel:



Aantal albums

9

10

11

Kans

…..

…..

…..



Veronderstel dat de tantes van tevoren met Frank overlegd heb­ben, maar niet met elkaar.



e. Maak weer de kanstabel:



Aantal albums

9

10

11

Kans

…..

…..

…..







3.1 Kansverdelingen

In deze paragraaf gaat het niet om afzonderlijke kansen, maar om de hele kansverdeling, dat wil zeggen het geheel van kansen op de verschillende mogelijkheden. Bij elke opgave ga je zelf een kanstabel opstellen. Door na te gaan of de som van de kansen 1 is, kun je controleren of je het goed hebt gedaan. In een enkel geval (opgave 6) is het handig om niet alle kansen in de tabel direct te berekenen, maar de lastigste kans uit de andere kansen af te leiden. (Hoe?)


Met behulp van een lijst van alle mogelijkheden
2 Anneke krijgt nieuwe buren. Ze heeft gehoord dat het ge­zin drie kinderen telt, alledrie ongeveer van haar leeftijd. Ze is dan ook benieuwd of het jongens of meisjes zijn.

a. Wat is de kans dat er twee jongens zijn en één meisje?

b. Wat is de kans dat de drie kinderen van hetzelfde ge­slacht zijn?

c. Maak een kanstabel voor het aantal meisjes in het gezin.

3 Sharon heeft in de avonduren een bij­baantje als telemarketeer. Zij belt mensen op om kranten-abonnementen, verzekeringen en dergelijke te verkopen. Deze avond moet ze mensen telefonisch overhalen een proefrit te maken in een nieuw type auto. Volgens haar baas is 40% van de mensen geïnteresseerd in een proefrit. Op grond van dit percentage is het mini­mum aantal proefritten dat elke telemarketeer moet re­gelen, gesteld op 20. Op een gegeven moment heeft Sharon nog maar tijd voor drie telefoontjes. Op dat moment heeft ze al 18 afspraken ge­maakt.



a. Bereken de kans dat Sharon alsnog het minimum aan­tal afspraken regelt, ervan uitgaande dat de baas gelijk heeft.

b. Maak een kanstabel voor het aantal afspraken dat Sharon die avond weet te regelen.

4 Je hebt drie brieven (a, b en c) geschreven aan vrien­den en hun adressen op enveloppen (A, B en C) gezet. Je pakt envelop A en zonder ergens op te letten stop je er een brief in. Daarna doe je hetzelfde met de an­dere twee enveloppen.

a. Maak een lijst van alle mogelijkheden waarop de brie­ven in de enveloppen kunnen worden gestopt.

b. Wat is de kans dat er geen enkele brief goed zit?

c. Wat is de kans dat er precies een brief goed zit?

d. Maak een kanstabel voor het aantal brieven dat in de goede envelop zit.

5 Matthijs zit in een klas met 10 leerlingen. De leraar kiest elke les twee leerlingen in de klas, van wie hij het huiswerk controleert.

Vandaag hebben drie leerlingen in de klas hun huiswerk niet gemaakt. De leraar kan 0, 1 of 2 leerlingen betrappen op het het niet maken van huiswerk.

Bereken de kansen op elk van deze drie mogelijkheden. Schrijf je antwoorden in een kans-tabel.

6 Manon staat bij een spelletje ganzenbord op het vierde vakje voor de finish. Als ze aan de beurt is, gooit ze met een dobbelsteen en gaat zoveel vakjes vooruit als ze heeft gegooid. Als ze 4, 5 of 6 ogen werpt, passeert ze de finish en is het spel afgelopen.

a. Hoeveel beurten heeft ze minimaal nodig? En hoeveel maximaal?

b. Bereken de kans dat ze het minimale aantal beurten nodig heeft.

c. Bereken ook de kans dat ze het maximale aantal beurten nodig heeft.

d. Maak een kanstabel voor het benodigde aantal beurten.

7 Iemand werpt met twee dobbelstenen. X1 is het aantal ogen dat hij met de ene dobbelsteen werpt en X2 het aantal ogen met de andere dobbelsteen.

S = X1 + X2 is de som van de aantallen ogen.

a. Welke waarden kan S aannemen?

b. Hoe groot is P(S = 2)? En P(S = 3)? En P(S = 4)?

c. Maak een kanstabel voor S.

3.2 Verwachtingswaarde en standaardafwijking

Naar verwachting


8 Hieronder staat schematisch het inwendige van een speelautomaat. Bovenaan wordt in de trechter een balletje losgelaten. Dat rolt naar beneden en komt onderaan in een van de bakjes terecht. De speler ontvangt het bedrag dat op het bakje geschreven staat. We gaan ervan uit dat een balletje bij elke splitsing met gelijke kans naar links of naar rechts gaat.

Stel dat dit spel per jaar 40.000 keer gespeeld wordt.

a. Hoe vaak zou je het balletje in het bakje €100 verwachten?

En hoe vaak in elk van de andere bakjes?

Als je niet meer goed weet hoe dit te bepalen, zie het pakketje Rekenen met Patronen.

b. Hoeveel zou de eigenaar van de automaat naar verwachting per jaar moeten uitbetalen?

c. Natuurlijk zal hij niet precies het bedrag uit onderdeel b moeten uitbetalen.

Wat is in theorie het maximale bedrag dat de eigenaar per jaar zou kunnen moeten uitbetalen?

En het theoretisch minimale bedrag?

d. Om dit spelletje te mogen spelen moet je €15 betalen.

Is dit een aantrekkelijke prijs voor een speler om te spelen?
Na enige tijd verandert de eigenaar het spel. Op drie plaatsen zet hij een “stop”. Rolt het balletje daarin dan stopt het spel en er wordt niets uitbetaald. Het inwendige van de speelautomaat ziet er nu uit zoals op de volgende bladzijde te zien is.
e. Hoeveel moet de eigenaar nu naar verwachting per jaar uitbetalen?

f. Bij welke inzet is het net niet meer aantrekkelijk om het spel te spelen?




Galtonbord

Als we de speelautomaat schematisch weergeven, krijgen we een zogenaamd Galtonbord. Dat bestaat uit een aantal rijen pinnen. Bovenaan worden kogeltjes losgelaten; die vallen via de pinnen naar beneden. Als het een goed bord is, is voor elk kogeltje bij elke pin de kans ½ om naar links of naar rechts te gaan. Onderaan worden de kogeltjes in bakjes opgevangen. In de middelste bakjes zullen de meeste kogeltjes komen, aan de uiteinden de minste.

Het bord is ontworpen door de Britse statisticus sir Francis Galton, en is naar hem genoemd.

Het spel in opgave 8 is gebaseerd op dit idee.






9 Ga naar de digimap of naar VU-Statistiek, Kansrekenen, Bord van Galton.

Maak een paar simulaties op borden van verschillende aantallen rijen. Varieer ook de kans dat een kogeltje naar rechts valt.
10 Bij wintersportvakanties gebeurt nogal eens een ongeluk. Daarvoor kun je je verzekeren. Om de verzekeringspremie te bepalen schatten verzekeringsmaatschappijen de kans op een ongeluk aan de hand van historische gegevens. Ongeveer 6% van alle wintersporters raakt in meer of mindere mate gewond. De behandelingskosten variëren van enkele tientjes tot duizenden euro's; gemiddeld liggen de kosten per gewonde rond de 4000 euro.

Per jaar gaan 100.000 Nederlanders op wintersport. Laten we aannemen dat ze zich allemaal bij één verzekeringsmaatschappij verzekeren en dat deze maatschappij geen winst hoeft te maken.

a. Hoe hoog zal de verzekeringspremie per persoon moeten bedragen, opdat de verzekerings- maatschappij de verwachte kosten kan betalen?

b. Stel dat slechts de helft van de wintersporters zich verzekert. Wat is nu de hoogte van de premie?

11 We bekijken opnieuw het spel van opgave 8.






In de tabel hieronder staan de kansen op de verschillende uitbetalingen.


uitbetaling

100

8

25

16

20

kans












Stel dat er 160 keer gespeeld wordt.

a. Hoe groot is dan de totale uitbetaling, naar je mag verwachten?

b. Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer?

c. Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer als er n keer gespeeld wordt?

Bij een experiment wordt een aantal geteld: dat noemen we X.

Stel dat X n verschillende waarden kan aannemen; noem die x1, x2, ... , xn.

De bijbehorende kansen noemen we p1, p2, ..., pn.

  1   2   3   4   5   6   7   8

  • 3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave
  • 3.0 Verschillende mogelijkheden  1
  • Met behulp van een lijst van alle mogelijkheden  2

  • Dovnload 0.88 Mb.