Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina3/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

Voorbeeld


Bij een experiment wordt een aantal geteld, dat we X noemen.

Stel dat X zes verschillende waarden kan aannemen met de volgende kansen:


waarde

3

4

5

6

7

8

kans

0,19

0,22

0,18

0,23

0,17

0,01



De verwachtingswaarde is 5 en de afwijkingen van de verwachtingswaarde zijn -2, -1, 0, 1, 2 en 3. Dan gaat de berekening van de sd als volgt:



.

Algemeen

Als de tabel van de kansverdeling is:




waarde

x1

x2

x3



kans

p1

p2

p3






en E is de verwachtingswaarde, dan is sd(X) =
In woorden:

sd(X) is de wortel van de verwachtingswaarde van de kwadratische afwijking van E.



29 Vergelijk de formules voor de sd van een frequentieverdeling en de sd van een kansverdeling.

Wat is het verband tussen p1 , f1 en n?



30 Bereken de standaardafwijking van het aantal ogen bij een worp met een dobbelsteen.

31 Op een braderie draait het rad van avontuur. Voor twee euro mag je één keer spelen. Als het rad stopt, geeft de pijl aan hoeveel euro je krijgt uitbetaald. We nemen aan dat het rad goed is uitgebalanceerd.



a. Hoe groot is de kans dat je winst maakt als je één keer speelt?
De uitbetaling per keer noemen we X.

b. Bereken de verwachtingswaarde van X.

c. Bereken de standaardafwijking van X.

d. In hoeveel procent van de keren zal de uitbetaling meer dan

2 · sd van de gemiddelde uitbetaling afwijken?



32 Een tweede rad van avontuur ziet er eenvoudiger uit.

De uitbetaling noemen we Y.



a. Bereken E(Y).
Het is niet onmiddellijk duidelijk welk rad de grootste spreiding heeft, dit rad of het rad van opgave 31.

b. Gebruik de sd om te bepalen welk rad de grootste spreiding heeft.

  • Hiernaast zie je vier verdelingen.

Ze hebben dezelfde spreidingsbreedte

en ze betreffen evenveel waarnemingen.

Zet ze op volgorde van grootte van sd.


  • Ad en Ed hebben allebei gedurende een week ’s ochtends de temperatuur gemeten. Ze kwamen met precies dezelfde zeven resultaten. Beiden krijgen dus ook dezelfde gemiddelde temperatuur: 8 °C en dezelfde standaardafwijking: 3 °C.

We stoppen hun resultaten bij elkaar en hebben nu 14 waarden.

Wat is het gemiddelde daarvan en wat de standaardafwijking?




  • Iemand beantwoordt op de gok twee driekeuzevragen. X is het aantal antwoorden dat hij goed heeft.

Bereken sd(X), met rekenapparatuur en ook op papier (d.w.z. met de formule).







3.3 Zonder terugleggen

Twee manieren


33 Bij het kaartspel toepen worden alleen de kaarten B, V, H, A, 7, 8, 9, 10 gebruikt van elk van de kleuren schop­pen, harten, ruiten en klaveren. De 10'en zijn de hoogste kaarten; het is gunstig als je veel 10'en hebt.

Jan speelt het spel en krijgt vier wil­lekeurige kaarten uit de 32 kaarten.

Bereken de kans dat Jan precies twee 10'en krijgt.

Als je er niet uitkomt, geen nood. In de volgende twee opgaven gaan we hier verder op in.

34 Manier 1: met een kansboom



Vervolg van opgave 33.

a. Maak een kansboom bij het probleem van opgave 33. Schrijf bij de tak­ken de kansen.




b. Wat is de kans op precies twee 10'en?

35 Manier 2: door te tellen

Vervolg van opgave 33 en 34.

a. Hoeveel combinaties zijn er van vier uit de 32 kaarten?

b. Hoeveel “gunstige” combinaties zijn er, dat wil zeggen bij hoeveel grepen zijn er twee 10'en en twee niet-10'en?

c. Wat is de kans op precies twee 10'en?

Bespreking

Dit is een voorbeeld van “trekken zonder terugleggen”. Je krijgt vier kaarten uit een pak van 52. De eerste kaart die je krijgt wordt niet teruggelegd; de tweede kaart komt dus uit een stapel van 51 kaarten. Ook die tweede kaart wordt niet teruggelegd, enzovoort.

  • Manier 1 Er zijn zes verschillende volgordes om twee 10’en te krijgen. De kansen op elk van deze zes ma­nieren blijken hetzelfde te zijn, namelijk = 0,0105.

De gevraagde kans is dus 6 · 0,0105 0,063.

  • Manier 2 Je moet twee van de vier 10’en krijgen en twee van de achtentwintig niet-10’en. Er zijn × = 2268 viertallen waarbij dat het geval is. In totaal zijn er = 35960 viertallen. De gevraagde kans is dus 0,063.

Bij grotere grepen (van bijvoorbeeld tien kaarten in plaats van vier) is de tweede manier handiger dan de eerste.

Combinatiegetallen







Bij de tweede manier werk je met combinatiegetallen. Het aantal verschillende combinaties van r dingen uit een verzameling van n dingen is het combinatiegetal r uit n”. Dit wordt wel genoteerd met . In de module Rekenen met Patronen heet dat , op de GR heet dat nCr.



We zullen eerst even wat kennis over combinatiegetallen ophalen.

36 We gaan ter herinnering enkele combinatiegetallen uit het hoofd uitrekenen.

Stel er liggen acht verschillende dingen op tafel.

a. Hoeveel verschillende grepen van twee dingen kun je hieruit doen?

Dat is dus .



b. Bereken en .

c. Bereken .

d. Bereken .

e. Als je weet dat = 56, welk ander combinatiegetal weet je dan ook?

0 dingen uit 8 pakken is misschien raar. Maar er is een goede reden om af te spreken dat = 1.



f. Kun jij die bedenken?

g. Hoe groot zijn (voor elk getal n): , , , ?
Onderdeel e is een voorbeeld van een algemener verband: = .

h. Welk verband?
37 Als nieuw lid van de boekenclub mag je gratis drie boe­ken kiezen uit een lijst van tien. De eerste vier zijn boeken met prachtige platen in kleur, de andere zes zijn romans. Je kiest willekeurig drie boeken uit de tien, dat wil zeggen dat alle drietallen boeken even waarschijnlijk zijn.

a. Bereken de kans dat je 1 platenboek kiest en 2 ro­mans.

b. Bereken ook de kans op

  • 3 platenboeken,

  • 2 platenboeken en 1 roman,

  • 3 romans.

c. Hoe kun je je vier antwoorden op a en b controleren?

38 Uit een klas van tien jongens en twaalf meisjes wordt een afvaardiging van zes leerlingen gekozen. We nemen aan dat de leerlingen gelijke kans hebben om gekozen te worden.

Hoe groot is de kans dat er evenveel meisjes als jon­gens gekozen worden? Schrijf je antwoord met behulp van combinatiegetallen en bereken de uitkomst.

Trekken zonder terugleggen
Veel opgaven in deze paragraaf komen hierop neer: je hebt een populatie waarbij de leden een eigenschap wel of niet hebben; hieruit wordt een aantal gepakt; X is het aantal dat gepakt wordt dat de eigenschap wel heeft.


Dit is hetzelfde als trekken zonder terugleggen van een aantal ballen uit een doos met witte en zwarte ballen. Dat het zonder terugleggen is, herken je zo: de kans dat de tweede bal wit is, hangt af van de kleur van de eerste bal.


De kansverdeling van X wordt een hypergeometrische verdeling genoemd.
Voorbeeld

In een doos zitten tien ballen, vier witte en zes zwarte. Iemand trekt zonder terugleggen vijf ballen uit die doos.



X is het aantal witte ballen in die greep.

Dan geldt: P(X = 2) = .



39 Van de vijfentwintig leerlingen van V5B hebben er vijf hun huiswerk niet gemaakt. De leraar kiest willekurig vier leerlingen uit de klas. Van deze vier leerlingen hebben er X hun huiswerk niet gemaakt.

a. Bereken P(X = 4) en P(X = 3).

b. Van de vier leerlingen die aan de tand gevoeld wer­den, hadden er drie hun huiswerk niet gemaakt. Wat denk je, zou de leraar de vier leerlingen wel willekeurig gekozen hebben?
40 In een vaas zitten vier witte en drie zwarte ballen. Zon­der terugleggen wordt uit die vaas steeds een bal gepakt, tot­dat er drie witte ballen gepakt zijn. X is het aantal trekkingen dat daarvoor nodig is.

a. Welke waarden kan X aannemen?

b. Het trekking wwzw (w staat voor wit, z voor zwart) geeft de uitkomst X = 4. Schrijf alle trekkingen op die de uitkomst X = 4 geven.

c. Stel dat een trekking de uitkomst X = 4 geeft. Hoeveel witte zijn er bij de eerste drie ballen?

Wat is de kleur van de vierde bal?



d. Ga na: P(X = 4) = .

e. Wat zijn de twee kenmerkende eigenschappen voor een trekking die X = 5 geeft?

f. Ga na: P(X = 5) = .

Met meerdere mogelijkheden


41 Voor het schoolfeest heeft de leerlingenvereniging flink wat frisdrank ingekocht. In één van de kratten zitten zes flessen cola, vier flessen seven-up en twee flessen spa. In het donker, en daar-door aselect, pakt iemand drie fles­sen uit het krat.
1   2   3   4   5   6   7   8

  • 3.3 Zonder terugleggen
  • 34 Manier 1: met een kansboom Vervolg van opgave 33 . a.

  • Dovnload 0.88 Mb.