Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina4/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

a. Hoe groot is de kans dat hij twee flessen cola en één fles spa pakt?

b. Hoe groot is de kans dat hij twee flessen cola pakt?

c. Bereken op twee manieren de kans dat het drie fles­sen van dezelfde soort zijn.

d. Bereken ook op twee manieren de kans dat hij van elke soort één fles pakt.

42 Een spel kaarten bestaat uit 13 schoppen-, 13 harten-, 13 ruiten- en 13 klaverenkaarten.

Ad speelt bridge en krijgt dertien kaarten uit het spel van 52 kaarten. Als hij van een kleur 4 kaarten krijgt en van de andere drie kleuren 3 kaarten, spreken we van een vlakke verdeling.



a. Wat is de kans dat Ad 3 klaveren-, 3 ruiten-, 3 harten- en 4 schoppenkaarten krijgt?

b. Bereken de kans op een vlakke verdeling.

43 We maken rijtjes van lengte 8 bestaande uit 0'en, 1'en en 2'en.

a. Hoeveel van die rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

b. Hoeveel van die rijtjes bevatten geen 0'en?

We gaan berekenen hoeveel rijtjes er zijn met twee 0'en, vijf 1'en en één 2. Daarvoor gebruiken we een vaas met de ballen genummerd 1 tot en met 8. Eerst trekken we uit de vaas twee getallen die de plaatsen voor de twee 0'en aangeven. Vervolgens trekken we uit de vaas - waar dan nog zes ballen in zitten - vijf getallen die de plaatsen voor de vijf 1'en aangeven. Het getal dat over blijft geeft de plaats voor de 2 aan.



c. Stel dat je eerst de nummers 3 en 6 trekt en vervol­gens de nummers 1, 2, 5, 7 en 8. Welk rijtje krijg je dan?

d. Op hoeveel manieren kun je de twee plaatsen voor de 0'en trekken?

Op hoeveel manieren kun je vervolgens de vijf plaatsen voor de 1'en trekken?

Hoeveel rijtjes zijn er dus in totaal met twee 0'en, vijf 1'en en één 2?
e. Je kunt ook eerst de plaats voor de 2 trekken en daarna de twee plaatsen voor de 0'en.

Op hoeveel rij­tjes kom je dan in totaal uit?



f. Bereken op nog een derde manier het aantal rijtjes met twee 0'en, vijf 1'en en één 2.
g. Bereken het aantal rijtjes van lengte 10 met één 0, twee 1'en, drie 2'en en vier 3'en.

Er zijn × × rijtjes van lengte 7 met twee 0’en, drie 1’en, één 2 en één 3.

Als je eerst de drie 1'en aanwijst, dan de 2 en dan de twee 0'en, vind je voor dit aantal:

× × .

44 Bij Scrabble heeft iemand 3 keer de letter A, 2 keer de letter N en 1 letter S.

Door de letters achter elkaar op zijn plankje te leggen, vormt hij een "woord" (dat niet in het woordenboek hoeft voor te komen; het hoeft ook niet uitspreekbaar te zijn: de letters mogen dus in een willekeurige volgorde staan).



a. Hoeveel "woorden" kan hij vormen?

b. Veronderstel dat de letters in een willekeurige volgorde op het plankje staan. Wat is dan de kans dat er het woord ANANAS staat?
Het woord MISSISSIPPI telt één M. vier I's, vier S'en en twee P's.

c. Hoeveel verschillende “woorden” kun je met de elf letters vormen?

d. Als je de letters in een willekeurige volgorde zet, wat is dan de kans dat er het woord MISSISSIPPI staat?


3.4 Wel/Niet

45 Draaiwiel 1

Op een draaiwiel staan, elk in een sector van 36, de cij­fers 0, 1, ..., 9. Dit wiel wordt zes keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans



a. op zes verschillende cijfers?

b. op zes keer hetzelfde cijfer?

c. dat er geen 8 bij is?

d. dat er minstens één 8 bij is?

e. dat alleen de eerste twee cijfers 8 zijn?

f. dat er precies twee cijfers 8 bij zijn?

g. dat er precies twee cijfers 8 zijn die bovendien na elkaar komen?

Tip: Schrijf eens een aantal van die rijtjes op.



46 Draaiwiel 2

Bij een ander draaiwiel is de successector 144.



a. Hoe groot is bij één keer draaien van dat wiel de kans op succes?
Dat wiel wordt vijf keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans op:

b. vijf keer succes?

c. de eerste vier keer succes en de vijfde keer pech?

d. vier keer succes en één keer pech?

e. de eerste drie keer succes en de laatste twee keer pech?

f. drie keer succes en twee keer pech?

47 In een doos zitten acht ballen, waarvan er vijf rood zijn. Uit die doos nemen we blindelings met terugleg­gen drie keer een bal.

a. Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is en de andere ballen niet?

b. Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is?
X is het aantal rode ballen in deze steek­proef.

c. Maak een tabel van de kansverdeling van X.

d. Ga na dat de som van deze kansen 1 is.

e. Beschrijf het draaiwiel waarmee dit experiment te simuleren is.

48 Gooien met een dobbelsteen

Er wordt vijf keer met een dobbelsteen gegooid.



a. Bereken de kans dat alleen de eerste twee worpen zes wordt gegooid.

b. Bereken de kans dat alleen de tweede en de vierde keer zes wordt gegooid.

c. Bereken de kans dat er precies twee keer zes wordt gegooid.

Noem het aantal keren dat zes wordt gegooid Z.



d. Maak een tabel van de kansverdeling van Z.

e. Controleer of de som van de kansen (ongeveer) 1 is.

f. Beschrijf het draaiwiel waarmee het gooien met deze dobbelsteen te simuleren is.

Veel opgaven in deze paragraaf zijn wiskundig gezien hetzelfde. Bij een experiment zijn er twee mogelijke uitkomsten: “succes” en “mislukking”. Dit experiment wordt n keer (onafhankelijk van elkaar) herhaald, steeds met dezelfde kans op succes p.

Elk rijtje met precies k successen heeft kans en er zijn van zulke rijtjes.

De kans op k successen is dus: .

Noemen we het totaal aantal successen X, dan is P(X=k) = .

We zeggen dat X binomiaal verdeeld is.


Binomiaal betekent letterlijk tweetermig. Dat heeft te maken met het feit dat er twee alter-natieven zijn: succes en mislukking.
Voorbeeld Bij 5 herhalingen, steeds met succeskans 0,4, is de kans op 2 successen:

0,420,63. Op de GR kun je ook binomiale kansen uitrekenen. De kans  0,420,63 vind je op de TI met Binompdf(5, 0.4, 2) en op de Casio met Binomial P.D. (Bpd).

Hierin staat pdf staat voor probability distribution function.



49 Een poes heeft zes jongen gekregen.

a. Hoe groot is de kans dat er evenveel katertjes als poezen bij zijn?

b. Hoe groot is de kans dat er meer katertjes dan poezen bij zijn?

c. Hoe groot is de kans dat er zowel katertjes als poezen bij zijn?

50 Een spel bevat negen identieke dobbelstenen. Elke dobbelsteen heeft twee zijvlakken met een rondje, twee met een kruis en twee met een vierkant. Hiernaast is een uitslag van zo’n dobbelsteen getekend. Men werpt de negen dobbelstenen tegelijk en kijkt dan welke figuren boven liggen.
a. Bereken de kans op allemaal gelijke figuren.

b. Bereken de kans op precies drie rondjes.

c. Bereken de kans op drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten.
Volgens de kans bij c treedt gemiddeld bij ongeveer één op 12 worpen (met negen dobbelstenen) de mooie configuratie met drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten op.

d. Bereken de kans dat dit in 12 worpen precies één keer gebeurt.

51 Van de penalty's bij voetballen in de eredivisie wordt 70% benut, wordt 20% door de keeper gestopt en wordt 10% over of naast geschoten.

a. Wat is de kans dat van de eerstvolgende 10 penal­ty's er precies 3 gemist ( =  niet benut) worden?
Je hebt gehoord dat er afgelopen weekend liefst 7 pe­nalty's werden gemist.

b. Bereken de kans dat er daarvan precies 4 door de keeper werden gestopt.
Er zijn op een avond maar twee wedstrijden gespeeld. Je hebt gehoord dat er die avond liefst 7 penalty's zijn gege­ven. Neem aan dat elke club met dezelfde kans een pe­nalty krijgt.

c. Bereken de kans dat precies 4 van de penalty's aan eenzelfde club werden gegeven.

52 Een kolom van het totoformulier vul je in door bij elk van de dertien wedstrijden één van de hokjes 1, 2 of 3 aan te kruisen. (1 betekent "de thuisspelende club wint", 2 betekent "de uitspelende club wint" en 3 betekent "gelijkspel".) Neem aan dat elke wedstrijd met kans  goed voorspeld wordt. Johan vult één kolom in.

a. Bereken de kans dat hij precies vijf wedstrijden juist voorspelt.

b. Bereken de kans dat hij geen enkele wedstrijd juist voorspelt.
Als je alle 13 wedstrijden goed voorspelt, dan win je de Jackpot. Bij 12 wedstrijden goed win je de tweede prijs en bij 11 wedstrijden goed de derde prijs. Bij minder dan 11 goede voorspellingen win je niets.

c. Bereken de kans dat Johan een prijs wint.

53 In het seizoen 2009-2010 werden in de eredivisie 306 wedstrijden gespeeld. Daarvan werden er 153 gewonnen door de thuisclub, 91 werden verloren door de thuisclub en 62 eindigden in een gelijkspel. Op grond van deze aantallen mag je wel zeggen dat een willekeurige thuisclub met 50% kans wint, met 30% kans verliest en met 20% kans gelijkspeelt. Neem aan dat deze percentages ook dit seizoen gelden. We kijken naar de negen eredivisiewedstrijden in een bepaald weekend.

a. Bereken de kans dat vier van de negen wedstrijden worden gewonnen door de thuisclub.

b. Bereken de kans de thuisclubs vier wedstrijden winnen en er drie verliezen en dat twee wedstrijden eindigen in een gelijkspel.

c. Bereken de kans dat geen enkele wedstrijd eindigt in een gelijkspel.

d. Bereken de kans dat drie wedstrijden eindigen in winst voor de thuisclub, drie in verlies voor de thuisclub en drie in een gelijkspel.


54 Rikken wordt gespeeld met een volledig spel van 52 kaarten. Elk van de vier spelers krijgt bij deling 13 kaarten. We letten op de verdeling van de 4 azen over de spelers. De kans dat elk van de spelers één aas krijgt is ongeveer 0,1055. We zeggen dat de azen dan “rond zitten”. We bekijken de verdeling van de azen in 10 opeenvolgende spellen.

a. Bereken de kans dat de azen precies één keer rond zitten.

b. Bereken de kans dat de azen hoogstens twee keer rond zitten.

c. Bereken de kans dat de azen minstens twee keer rond zitten.

55 De azen kunnen bij Rikken op vijf manieren over de vier spelers verdeeld zijn. De eerste manier is de 1-1-1-1-verdeling (elke speler heeft één aas) met kans 0,1055, de tweede manier is de 2-1-1-0-verdeling met kans 0,5843, de derde manier is de 3-1-0-0-verdeling met kans 0,1648, de vierde manier is de 2-2-0-0-verdeling met kans 0,1348 en de vijfde manier is de 4-0-0-0-ver-deling (één speler heeft alle azen) met kans 0,01056. We bekijken weer de verdeling van de azen in 10 opeenvolgende spellen.

a. Bereken de kans dat bij vier spellen de azen bij hoogstens twee spelers zitten.

b. Bereken de kans dat bij minstens één spel de azen bij één speler zitten.

c. Bereken de kans dat de tweede manier hoogstens drie keer voorkomt.

d. Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer en de derde manier twee keer.

e. Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer, de derde manier één keer en de vierde manier één keer.

Als X het aantal azen is dat een van de spelers krijgt, dan staat P(X ≤ 3) voor de som van de kansen: P(X=0), P(X=1), P(X=2) en P(X=3). We noemen P(X ≤ 3) een cumulatieve kans. Cumulatief betekent bij elkaar opgeteld, opstapelend.

Cumulatieve kansen bij een binomiaal kansexperiment kun je ook met de GR vinden. Bijvoorbeeld de kans van opgave 54b is op de TI te berekenen met Binomcdf(10, 0.1055, 2) (cdf staat voor cumulative distribution function). Op de Casio kan deze kans worden berekend met Binomial C.D. (Bcd).
Merk op dat zowel op de TI als op de Casio alleen binomiale kansen van het type P(X = k) of P(X k) kunnen worden berekend. Met behulp van het feit dat de som van de kansen gelijk is aan 1 kunnen ook andere binomiale kansen worden berekend. Zo is bijvoorbeeld

P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7) en P(X > 12) = P(X ≥ 13) = 1 – P(X ≤ 12).



56 Een binomiaal kansexperiment heeft 14 herhalingen en succeskans 0,3. X is het aantal successen. Bereken met de GR de volgende kansen:

a. P(X ≥ 7)

b. P(X < 8)

c. P(1 < X < 5)

d. P(3 ≤ X ≤ 10)


57 We werpen tien keer met een dobbelsteen en letten op het aantal zessen in die tien worpen.

Hoe groot is de kans dat er minstens drie zessen bij zijn?



58 Zo'n 10% van de auto's die over de Nederlandse wegen ra­zen, heeft technische gebreken. Regelmatig worden door de politie uitgebreide technische keuringen uitge­voerd langs de kant van de autoweg.


De politie controleert op zekere dag 250 auto's.
1   2   3   4   5   6   7   8


Dovnload 0.88 Mb.