Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina5/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

a. Hoe groot is de kans dat er bij meer dan dertig auto's gebreken worden geconstateerd?
Gemiddeld 1 op de 500 auto's is zo gammel dat hij van de weg wordt gehaald en naar de sloper gebracht.

b. Hoe groot is de kans dat bij 250 controles er minstens één auto rijp is voor de sloop?

Het Nederlandse wagenpark telt zo'n 7 miljoen automobielen. Als de verkeerspolitie 250 verschillende auto's uitkiest, dan wil dat zeggen, dat ze eigenlijk werkt zonder terugleggen. Omdat de populatie waaruit getrokken wordt zo groot is, maakt het nauwelijks uit of de trekking met of zonder terugleggen gebeurt. In de volgende opgave bekijken we wat het verschil is bij relatief kleine en bij relatief grote populaties.

59 Uit een vaas met 5 witte en 10 rode ballen worden 3 ballen getrokken. We willen weten wat de kans is op twee witte ballen.



a. Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in vier decimalen.

b. Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in vier decimalen.
Uit een vaas met 50 witte en 100 rode ballen worden 3 ballen getrokken. We willen weten wat de kans is op 2 witte ballen.

c. Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in zes decimalen.

d. Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in zes decimalen.

Hypergeometrisch binomiaal
Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt (binomiaal). En dat is vaak handiger.


60 Bij een eerlijke munt zijn de kansen op "kop" en "munt" ge­lijk. Je mag dus verwachten dat in ongeveer 50% van de worpen "kop" zal worden gegooid. De kans is groot dat het aantal keer kop ten minste 40% en ten hoogste 60% van het aantal worpen is.

a. We doen 10 worpen. Bereken de kans dat het aantal keer "kop" ten minste 40% en ten hoogste 60% van het aantal worpen is.

b. Dezelfde vraag voor 20 worpen, voor 50 worpen en voor 100 worpen.

c. Hoe groter het aantal worpen, des te groter de kans dat het aantal keer "kop" tussen de 40% en 60% ligt. Kun je dat verklaren ?

61 Bij een landelijk onderzoek is gebleken dat 15% van alle middelbare scholieren regelmatig spijbelt.

a. Hoe groot is de kans dat in een havo5-klas van twintig leerlingen er meer dan 4 zijn die regelmatig spijbelen?

b. Bij vraag a heb je een binomiale kans berekend. Maar hebben we hier wel te doen met een binomiaal kansexperiment? Waarom is dat twijfelachtig?

62 In een bedrijf worden schroeven gefabriceerd. Volgens de bedrijfsleider is 5% van de productie niet bruikbaar. De slechte exemplaren worden niet verwijderd, omdat de controle op bruikbaarheid te veel geld kost. De schroeven worden in doosjes van 50 stuks verkocht aan de winkeliers.

a. Hoe groot is de kans dat een doosje meer dan vier on­bruikbare schroeven bevat?
Een winkelier heeft een partij van 500 doosjes schroe­ven besteld bij de fabriek.

b. Hoeveel doosjes met 50 bruikbare schroeven kan hij daarbij verwachten?

63 Een docent geeft een multiplechoicetest die bestaat uit twintig vierkeuzevragen.

Stel dat hij voor elke goed beantwoorde vraag een half punt toekent.



a. Hoe groot is de kans dat iemand die alle antwoorden gokt als cijfer een 4 of hoger krijgt?
De docent vindt dat een gokker ten hoogste 1% kans mag hebben om een 4 of hoger te halen.

b. Bij welk aantal goede antwoorden moet hij dan het cijfer 4 toekennen?

Willekeurig?


64 Nederlandse volwassen mannen zijn gemiddeld 1,81 meter.

Bij een congres in Utrecht over biometrie werd de lengte van de deelnemers gevraagd. Er antwoordden 37 mannelijke deelnemers; 24 van hen waren langer dan 1,81.



a. Bereken de kans op een resultaat van ten minste 24 mannen die langer dan gemiddeld zijn bij een groep van 37 willekeurige Nederlandse mannen.

b. Zou je – op basis van je antwoord bij a – de groep deelnemers aan het congres “willekeurig” willen noemen?
65 Er zijn 154 vwo4-leerlingen op het Amalia College, waarvan 69 jongens en 85 meisjes.

43 van de leerlingen hebben wiskunde A/C en 111 hebben wiskunde B. Op grond hiervan veronderstellen we dat de kans dat een willekeurige leerling wiskunde A/C kiest ≈ 0,279 is.



a. Bereken de kans dat van de 69 jongens er 13 of minder wiskunde A/C kiezen.

Bereken ook de kans dat van de 85 meisjes er 30 of meer wiskunde A/C kiezen.


Op het Amalia College hadden 13 jongens wiskunde A/C gekozen en 30 meisjes.

b. Zou je de vwo4-leerlingen op het Amalia College “willekeurig” willen noemen?

Als men een verzameling objecten onderzoekt (bijvoorbeeld de lengte van mensen, de kwaliteit van eieren of de neerslag in Nederlandse plaatsen) is het in de praktijk vaak ondoenlijk van elk object het resultaat te meten. In plaats daarvan volstaat men met een deel van de verzameling; dat deel is een zogenaamde steekproef. De objecten in de steekproef moeten wel willekeurig worden gekozen, d.w.z. elk object moet van tevoren evenveel kans hebben om in de steekproef terecht te komen. In het hoofdstuk Onderzoek gaan we hier verder op in.

66 Ga naar de digimap of naar VU-Statistiek, Simulatie, Steekproeven

Er zijn vier parameters:

geheime proportie blauw, omvang populatie, omvang steekproef en aantal steekproeven.

a. Kies waarden voor deze parameters en voer de simulatie uit.

b. Klopt het resultaat met wat je vooraf zou verwachten?
Kies geheime proportie blauw = 0.279, omvang populatie = 10000, omvang steekproef = 69 en

aantal steekproeven = 100.

c. Komt het resultaat overeen met het antwoord van opgave 65a?

d. Dezelfde vraag bij omvang steekproef = 85.


67 In 2000 is in Nederland de massale enquête Nationale Doorsnee gehouden onder eerste- en tweedeklassers van het voortgezet onderwijs.

Onder andere werd gevraagd naar het favoriete schoolvak. Bij 10% van de jongens was dat wiskunde, en ook bij 8% van de meisjes. Laten we zeggen gemiddeld bij 9% van de leerlingen.











a. Hoeveel leerlingen verwacht je in een brugklas van 33 leerlingen voor wie wiskunde het favoriete vak is?

b. Wat is de kans dat voor precies 3 leerlingen wiskunde het favoriete vak is?

c. Wat is de kans dat in een klas van 33 leerlingen er 6 of meer wiskunde als favoriete vak hebben?

d. Bij c heb je waarschijnlijk een binomiale kans uitgerekend. Waarom is dat eigenlijk niet goed?

3.5 De variantie

68 We draaien n keer een kanstol met successector 120°.

X is het aantal successen.

  1. Teken een kanshistogram voor de volgende waarden van n

bereken de betreffende kansen): n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

b. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal succes voor elk van deze vier waarden van n.

c. Bereken ook de variantie, dat is het kwadraat van de standaardafwijking.

d. Wat valt je op?
X is het aantal successen in een binomiaal kansexperiment met n herhalingen en succeskans p.

e. Hoe groot is – denk je – E(X)?

Hoe groot is – denk je – Var(X)?



69 De verwachtingswaarde van het aantal successen X bij een binomiaal kansexperiment volgt uit de somregel voor de verwachtingswaarde. Hoe, dat ga je in deze opgave uitvinden.

Noem het aantal successen bij de eerste uitvoering van het experiment X1, het aantal successen bij de tweede uitvoering X2, enzovoort.



a. Welke waarden kunnen X1, X2, … aannemen?

b. Leg uit dat X = X1 + X2 + … + Xn .

c. Bereken E(X1). Hoe groot zijn E(X2), E(X3), … ?

d. Hoe groot is E(X) dus?





Als X het aantal successen is bij een binomiaal kansexperiment met succeskans p en aantal herhalingen n, dan is E(X) = np.



70 De standaardafwijking van het aantal successen X is lastiger te vinden. We vergelijken de aantallen successen uit opgave 68 voor n = 1 en n = 2.

De sd voor n = 1 is .


a. Leg uit dat het logisch is dat de sd voor n = 2 groter is.
We gaan twee grootheden vergelijken:

  • Y is het dubbele van X voor n=1. Dus Y = 0 met kans  en Y = 2 met kans  .

  • X voor n=2.

b. Wat is het grote verschil tussen deze twee?

c. Ga na dat sd(Y) = 2 sd(X).

d. Ga na dat sd(X) voor n = 2 kleiner is dan sd(Y).

Als het aantal herhalingen verdubbelt, wordt de sd groter, maar minder dan 2 keer zo groot.



e. Kun je dat uitleggen.

Algemeen geldt de volgende somregel voor de variantie.





Als X en Y onafhankelijk zijn en S = X + Y, dan: Var(S) = Var(X) + Var(Y).
In extra opgave 88 kun je aan de hand van een voorbeeld begrijpen dat deze regel waar is. Om de regel in zijn algemeenheid te bewijzen, is veel ingewikkeld schrijfwerk nodig. Dat zullen we hier niet doen.

71 De variantie van het aantal ogen bij het werpen met een dobbelsteen is  ; zie opgave 30.

  1. Hoe groot is de variantie van het totaal aantal ogen bij het werpen met twee dobbelstenen?

En bij het werpen met zes dobbelstenen?


  1. Hoe groot is de variantie van het aantal ogen dat bij het werpen met een dobbelsteen aan de

onderkant komt?

  1. Hoe groot is de variantie van de som van de aantallen ogen die bij het werpen met een

dobbelsteen aan de boven- en onderkant komen?

  1. Waarom geldt hier de somregel voor de variantie niet?

Als X het aantal succes is in een binomiaal kansexperiment met succeskans p en aantal herhalingen n, dan is sd(X) = .






72 a. Bewijs deze regel voor n = 1 (maak eerst een kanstabel).

b. Bewijs dit vanuit de somregel voor de variantie.

73 a. Wat is de standaardafwijking van het aantal kop bij 20 keer werpen met een zuivere munt?

b. Wat is de standaardafwijking van het aantal successen bij 20 keer draaien met de kanstol van opgave 68 (succeskans )?

74 Bekend is de vuistregel dat bij veel experimenten de kans op een afwijking van het gemiddelde van meer dan 2 keer de sd kleiner is dan 5%. Met andere woorden: het resultaat ligt met 95% kans tussen het gemiddelde + 2 sd en het gemiddelde – 2 sd.

  1. Als je duizend keer met een zuivere munt werpt, tussen welke waarden zal – volgens de vuistregel – het aantal kop dan liggen met 95% kans?

b. Bereken de kans dat het aantal kop tussen deze twee waarden ligt.

Er wordt 186000 keer met een zuivere munt geworpen. De munt viel 95000 keer op kop.



c. Hoeveel keer de sd wijkt dit resultaat af van het te verwachten aantal keer kop?
In 2008 werden in Nederland 95000 jongens geboren en 91000 meisjes.

d. Wat denk je, is de kans op een jongen even groot als op een meisje?

  • Ga naar de digimap of naar VU-Statistiek, Simulaties, Munten

Stel het aantal worpen in op 100, de kans op kop op 0,5 en de “trechter” op 95%.

Voer het experiment een aantal keer uit. Het kan voorkomen dat bijvoorbeeld bij de 45ste worp het aantal kop groter of kleiner is dan de trechtergrenzen aangeven. Maar dat komt maar in 5% van de gevallen voor.

Varieer het aantal worpen, de kans op kop en het trechterpercentage.

3.6 Extra opgaven

75 Hoeveel azen?

Bridge wordt gespeeld door vier personen en met een volledig kaartspel (52 kaarten, waaronder 4 azen). De kaarten worden gedeeld; ieder krijgt 13 kaarten.

Birgit is een van de spelers. We letten op het aantal azen dat Birgit krijgt.

a. Bereken de kans dat Birgit geen enkele aas krijgt.

b. Bereken de kans dat Birgit precies één aas krijgt.

c. Maak een kanstabel voor het aantal azen dat Birgit krijgt.

76 Pincode gokken

Een pincode bestaat uit vier cijfers van 0 t/m 9. Anneke is haar pincode vergeten. Wel weet ze dat hij uit de cijfers 1, 5, 6, 8 bestaat. Ze toetst een van de mogelijkheden in.



a. Wat is de kans dat ze de goede pincode intoetst?

b. Maak een kanstabel voor het aantal cijfers dat ze op de goede plaats heeft staan.

77 Druivenoogst

Een druiventeler kan kiezen uit twee manieren van oogsten.

  • Direct oogsten als de druiven rijp zijn.

De winst per kilo is dan €1,50. Aan deze manier van oogsten is geen risico verbonden.

  • Nog twee weken wachten met oogsten als de druiven rijp zijn.

Hierdoor worden de druiven voller van smaak en zijn dan meer waard: de winst wordt €2,00 per kilo. Aan deze manier zit wel een risico. Als het gaat regenen in de extra twee weken, worden de druiven namelijk aangetast en worden ze minder waard. De winst is dan nog slechts €0,75 per kilo.

De kans dat het in de betreffende periode van twee weken regent is 0,3.
Bekijk een periode van 20 jaar.

a. Laat zien dat de te verwachten winst per kilo bij de tweede manier groter is dan €1,50.
Als de winst van de aangetaste druiven veel lager wordt dan €0,75, is het voordeliger voor de teler om de eerste manier te kiezen.

b. Bereken vanaf welke winst per kilo voor de aangetaste druiven hij beter voor de eerste manier kan kiezen.

78 Euroloterij

Met de Euroloterij is er elke week kans op extra geldprijzen, bovenop de winkans bij alleen de Lotto. Je moet wel al aan de Lotto deelnemen voordat je kunt deelnemen aan de Euroloterij. De inleg is €1,00 per trekking. Op het formulier staat een getal van zes cijfers (0 t/m 9).


Het prijzenschema:

Alle 6 cijfers goed: € 200.000
De laatste 5 cijfers goed en niet alle 6: € 5000
De laatste 4 cijfers goed en niet de laatste 5: € 450
De laatste 3 cijfers goed en niet de laatste 4: € 50
De laatste 2 cijfers goed en niet de laatste 3: € 5
Het laatste cijfer goed en niet de laatste 2: € 1

Bereken de verwachte winst per formulier voor de organisator van de Euroloterij.

1   2   3   4   5   6   7   8


Dovnload 0.88 Mb.