Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina6/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

79 Standaardafwijkingen vergelijken

We bekijken steeds twee databestanden. Welk van de twee heeft de grootste standaardafwijking? Waarom?



Controleer je antwoorden eventueel achteraf door de standaardafwijkingen uit te rekenen.

a. 1 , 2 , 2 , 3 en 1 , 1 , 3 , 3

b. 1 , 1 , 3 , 3 en 0 , 0 , 2 , 2

c. 1 , 1 , 3 , 3 en 2 , 2 , 6 , 6

d. 1 , 1 , 3 , 3 en 1 , 1 , 1 , 3 , 3 , 3

80 Boogschieten

Bij boogschieten worden pijlen geschoten op een schietschijf, het zogenaamde blazoen. Dat heeft de kleuren geel, rood, blauw, zwart en wit. Elke kleur heeft twee ringen. De puntentelling is van binnen naar buiten: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Boogschutter Robin H. kent zijn kansen per schot:


aantal

punten


10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

kans


0,01

0,03

0,05

0,07

0,09

0,11

0,13

0,15

0,17

0,19




Boogschutter Wilhelm T. heeft vaker een afzwaaier, maar zit ook vaker dicht bij de roos dan Robin. Wilhelms kansen zijn:




aantal

punten


10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

kans


0,1

0,1

0,1

0,1

0

0

0

0,1

0,2

0,3






a. Welke boogschutter behaalt gemiddeld de hoogste score?

b. Bij welke boogschutter is de standaardafwijking van het aantal punten het grootst?
81 Supportersrellen

Na de wedstrijd van Ajax tegen Feyenoord is het weer eens mis. Vijfentwintig supporters, tien van Ajax en vijf­tien van Feyenoord, gaan met elkaar op de vuist. De poli­tie grijpt in, zonder ergens op te letten. Elke supporter heeft daardoor dezelfde kans om opgepakt te worden. In totaal worden er acht supporters gearres­teerd.

Hoe groot is de kans dat er drie aanhangers van Ajax en vijf van Feyenoord naar het bureau moeten? Schrijf je antwoord eerst met combinatie­getallen en bereken daarna de kans.

82 Fototoestel

Sietse heeft twee volle batterijen nodig voor zijn fototoestel. In een laatje liggen zes oplaadbare batterijen: vier volle en twee lege. Sietse pakt willekeurig twee van de batterijen en doet die in zijn fototoestel.

Bereken de kans dat de walkman werkt op twee manie­ren:


  • door twee kansen te vermenigvuldigen,

  • door combinatiegetallen te gebruiken.



83 Telefoonnummers

De telefoonnummers in Uden beginnen met 0413 – dat is het netnummer – waarna het abonneenummer (zes cijfers) komt.



a. Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cij­fers 1, 3, 5, 7, 8 en 9?

b. Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cij­fers 1, 1, 3, 5, 7 en 8?

c. Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cij­fers 1, 1, 1, 3, 5 en 7?

d. Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cij­fers 1, 1, 3, 3, 5 en 7?

84 Draaiwiel 3

Bij een spel met een draaiwiel met een successector van 90 heb je kans om drie euro te winnen en kans om één euro te verliezen. Iemand besluit om dit spel drie keer te spelen. X is het bedrag dat hij na die drie spelletjes gewonnen heeft.



a. Welke waarden kan X aannemen?

b. Maak een tabel van de kansverdeling van X.

c. Laat met een berekening zien dat dit spel eerlijk is.

d. Wat is trouwens een eerlijk spel, vind je ?

85 Werpen met een munt

Er wordt zes keer met een munt geworpen.



a. Bereken de kans dat alleen de eerste, derde en vijfde worp kop oplevert.

b. Bereken de kans dat alleen de tweede, vierde en zesde worp kop oplevert.

c. Bereken de kans dat precies drie van de zes worpen kop opleveren.

Noem het aantal keren dat kop wordt gegooid Y.



d. Maak een tabel van de kansverdeling van Y.

e. Teken het kanshistogram van Y.

f. Waarom is dit kanshistogram symmetrisch?

86 Mens erger je niet

Bij het bordspel Mens erger je niet moet je een nieuwe pion in het spel brengen als je zes ogen gooit met de dobbelsteen, mits nog niet alle pionnen in het spel zijn.



a. Bereken de kans dat de tweede pion in de vierde beurt in het spel komt.

b. Bereken de kans dat de tweede pion pas na de vierde beurt in het spel komt.

c. Bereken de kans dat de derde pion in de tiende beurt in het spel komt.

d. Bereken de kans dat de vierde (en laatste) pion pas na de twintigste beurt in het spel komt.

87 Griepepidemie

Bij een griepepidemie wordt 20% van de bevolking ziek. Neem aan dat iedereen dezelfde kans heeft om ziek te worden.



a. Waarom is deze aanname aanvechtbaar?
Op een school werken 25 leraren.

b. Hoe groot is de kans dat minstens vijf leraren griep krij­gen?

c. Hoe groot is de kans dat minstens vijf leraren geen griep krijgen?

d. En hoe groot is de kans dat precies vijf leraren griep krijgen?
Neem aan dat er op een dag vijf leraren door de griep geveld zijn.

e. Hoe groot is de kans dat van de elf leraren die Sofie heeft er die dag drie met griep thuis zijn gebleven?

88 De variantie van de som

X neemt de waarden 1, 2 en 3 aan en Y neemt de waarden 10 en 20 aan met zekere kansen. X en Y zijn onafhankelijk. De kansverdelingen van X en Y zijn:


10

20

q1

q2



1

2

3

p1

p2

p3






X: , Y:
We bekijken de som S = X + Y.

  1. Welke waarden neemt S aan?

Omdat X en Y onafhankelijk zijn, geldt P(S=11) = p1 q1

  1. Maak de kanstabel voor S.

  2. Wat zijn E(X) en E(Y)?

We korten af: E(X) = a en E(Y)= b. Dus E(S) = a+b.

  1. Laat zien dat p1(1a)+ p2 (2a) + p3 (3a) = 0 en dat q1 (10b)+ q2 (20b) = 0.

e. Wat zijn Var(X) en Var(Y), uitgedrukt met behulp van a en b?

We zullen laten zien dat Var(S) = Var(X) + Var (Y). Daarvoor heb je alleen maar algebra uit klas 2 nodig. Niet moeilijk, maar je moet wel nauwkeurig werken.

Var(S) = p1 q1 (11 (a+b))2 + p2 q1 (12 (a+b))2 + p3 q1 (13 (a+b))2 + p1 q2 (21 (a+b))2 +

p2 q2 (22 (a+b))2 + p3 q2 (23 (a+b))2

We gaan haakjes wegwerken. Bij de eerste term geeft dat:

(11 (a+b))2 = (1a + 10b)2 = (1a)2 + (10b)2 + 2(1a)(10b).

Zo ook de andere vijf termen. Die allemaal opgeteld geeft in totaal achttien termen:



p1 q1∙(1a)2 + p2 q1∙(2a)2 + p3 q1∙(3a)2 + p1 q2∙(1a)2 + p2 q2∙(2a)2 + p3 q2∙(3a)2 +

p1 q1∙ (10b)2 + p2 q1∙ (10b)2 + p3 q1∙ (10b)2 + p1 q2∙ (20b)2 + p2 q2∙ (20b)2 + p3 q2∙ (20b)2 +

2 p1 q1∙(1a) (10b) + 2 p2 q1∙(2a) (10b) + 2 p3 q1∙(3a) (10b) + 2 p1 q2∙(1a) (20b) +

2 p2 q2∙(2a) (20b) + 2 p3 q2∙(3a) (20b)


  • De eerste zes termen zijn samen p1 ∙(1a)2 + p2 ∙(2a)2 + p3 ∙(3a)2 en dat is Var(X).

  • De volgende zes zijn samen q1 ∙(10b)2 + q2 ∙(20b)2 en dat is Var(Y).

  • De laatste zes termen zijn samen gelijk aan 2 (p1(1a)+ p2 (2a) + p3 (3a)) ∙ (q1 (10b)+ q2 (20b)). In onderdeel d hebben we gezien dat dit gelijk is aan 2 ∙ 0 ∙ 0 = 0.

Alles bij elkaar hebben we gevonden: Var(S) = Var(X) + Var (Y).

89 Grabbelton

In een grabbelton zitten zes plankjes. Op drie ervan staat het getal 5, op twee staat 10 en op één 25. Iemand pakt willekeurig twee keer een plankje uit de ton, met terugleggen.



X is de som van de getrokken getallen.

  1. Maak een kanstabel voor X.

  2. Bereken E(X).

  3. Bereken Var(X) met de somregel voor de variantie.

  4. Bereken Var(X) rechtstreeks uit de tabel in a.



90 Dezelfde grabbelton als in opgave 89. Er worden nu twee plankjes zonder terugleggen gepakt.

Y1 is het getal op het eerste plankje dat gepakt wordt, Y2 dat op het tweede plankje en Y is de som van die getallen.

    1. Maak een kanstabel voor Y2.

    2. Bereken E(Y2).

    3. Maak een kanstabel voor Y.

    4. Bereken E(Y).

    5. Geldt E(Y2) + E(Y2) = E(Y2)?




    1. Bereken Var(Y).

    2. Waarom is Var(Y) niet gelijk aan de som van Var(Y1) en Var(Y2)?



3.7 Grotere opgaven

91 Een leugendetector

Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling, hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.

Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De uitkomsten zijn als volgt:


  • als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen ook als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen),

  • als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25% van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen wordt hij niet als leugenaar aangewezen).

Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt gebruikgemaakt van de leugen-detector.



a. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door de leugen-detector als leugenaar wordt aangewezen.
Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:

  • de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;

  • één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de andere vier personen niet.

b. Bereken de kans dat één van de vijf mensen door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.
De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als leugenaar ongeveer 94% is.

c. Reken dat na.
Die 94% is onacceptabel hoog. De leugendetector moet worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.

d. Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.
Naar: examen wiskunde B1 vwo 2009, 2de tijdvak
92 Een dobbelspel

De personen K en L spelen een dobbelspel. Elk van de spelers begint met twee fiches; de pot is dan nog leeg.



Bij het spel wordt geworpen met speciale dobbelstenen: op vier kanten van zo'n dobbelsteen staat een stip (), op één kant een A en op één kant een P. Zie de foto.







De spelregels zijn:



  • De spelers werpen om de beurt met één of twee dobbelstenen.

  • De speler die aan de beurt is, werpt met één dobbelsteen als hij één fiche heeft en met twee dobbelstenen als hij twee of meer fiches heeft.

  • Voor elke A die een speler werpt, moet hij 1 fiche aan de andere speler geven.

  • Voor elke P die een speler werpt, moet hij 1 fiche in de pot doen.

  • Voor een stip () hoeft hij geen fiche af te geven.

  • Als een speler geen fiches meer heeft, heeft hij verloren (en de andere speler gewonnen).


Hiernaast staat een mogelijk spelverloop waarbij speler K is begonnen. In zijn tweede beurt werpt speler K met één dobbelsteen, want hij heeft nog maar één fiche.

Neem aan dat speler K begint.

De kans dat speler K na zijn eerste beurt nog 1 fiche heeft en L dan 3 fiches heeft, is .



1   2   3   4   5   6   7   8

  • 83 Telefoonnummers
  • 88 De variantie van de som
  • 3.7 Grotere opgaven 91 Een leugendetector

  • Dovnload 0.88 Mb.