Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave

Dovnload 0.88 Mb.

3 Discrete kansverdelingen Inhoudsopgave



Pagina8/8
Datum25.10.2017
Grootte0.88 Mb.

Dovnload 0.88 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

a. Bereken deze kans. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Sinds 1 oktober 2002 is het theorie-examen vernieuwd. In het nieuwe theorieexamen zitten bij de 50 vragen niet alleen ja/nee-vragen maar ook andersoortige vragen zoals open vragen en/of driekeuzevragen. Ook nu is een kandidaat geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden beantwoord.
Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en 7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van 36 ja/nee-vragen en 6 driekeuze-vragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken.

Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.



b. Bereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als je slaagt voor het theorie-examen mag je praktijkexamen doen. Als je zakt voor je praktijk-examen, kun je enige maanden later opnieuw praktijkexamen doen. Sommige kandidaten zakken meerdere keren voor het praktijkexamen.

Het CBR houdt gegevens bij over de slaag- en zakcijfers van de kandidaten die opgaan voor het rijexamen. Uit de gegevens van het CBR blijkt dat een kandidaat steeds dezelfde kans heeft om te slagen voor het praktijkexamen. Hierbij speelt het dus geen rol of die kandidaat voor de eerste keer examen doet of al één of meer keren gezakt is. Verder blijkt dat 11% van alle kandidaten na 4 keer nog steeds niet is geslaagd voor het praktijkexamen.


Op basis van deze gegevens kun je nu berekenen hoe groot de kans is dat iemand de eerste keer al slaagt voor het praktijkexamen.

c. Bereken deze kans. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Bij het CBR bestaat het rijexamen voor de motor ook uit een theorie-examen en een praktijk-examen. Volgens de gegevens van het CBR slaagt landelijk 65,5% van alle kandidaten bij de eerste keer voor het praktijkexamen voor de motor.

Onlangs is een rijschool gestart die gespecialiseerd is in motorrijlessen. Van de eerste 20 cursisten die de rijschool heeft opgeleid, zijn er 17 de eerste keer geslaagd voor hun praktijk-examen. Dit is een bovengemiddeld resultaat en de rijschoolhouder wil hieruit concluderen dat zijn rijschool beter is dan de gemiddelde rijschool.


Veronderstel dat de rijschool van gemiddeld niveau is.

d. Bereken dan de kans op een resultaat van 17 of meer geslaagden van de 20 kandidaten.
Naar: examen wiskunde A12 2007, 1ste tijdvak

95 Schijn bedriegt

In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten 7 ballen: 4 witte en 3 zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij 1 euro (en voor een zwarte bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is € 1,75 per spel.

Per keer spelen ontvangt een speler dus 0, 1, 2 of 3 euro. De kansen op deze vier mogelijkheden zijn achtereenvolgens: , , en .
a. Toon aan dat de kans op 2 euro inderdaad is.
Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij meer dan € 1,75 ontvangt. De kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken is groter dan .
b. Bereken de kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken.
Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn bedriegt!

c. Toon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.
examen wiskunde B1 vwo 2008, 1ste tijdvak

3.8 Samenvatting Verdelingen

Kansverdelingen
Als een toevalsgrootheid de waarden 2, 5, 17 en 44 kan hebben, dan is de totale kans 1 verdeeld over deze vier waarden. De kansen op de vier afzonderlijke waarden vormen de kansverdeling van de toevalsgrootheid.

De kansverdeling kan worden gegeven in een tabel, of in een histogram, of in woorden, of …

Bijvoorbeeld:


waarde

2

5

17

44

kans op waarde

0,3

0,1

0,2

0,4

Een manier om achter de kansen te komen is het aantal mogelijke uitkomsten te tellen, waarbij die uitkomsten dan wel even waarschijnlijk moeten zijn.

Verwachtingswaarde en standaardafwijking
E(X) = p1x1p2x2  ...  pnxn is de verwachtingswaarde van X.
Als je de tabel van de kansverdeling kent:


waarde

x1

x2



xn

kans

p1

p2



pn



kun je de verwachtingswaarde dus eenvoudig uitrekenen: vermenigvuldig elk van de mogelijke uitkomsten met de kans op die uitkomst en tel vervolgens de producten op.


We korten de verwachtingswaarde af met E.

Dan is de standaardafwijking sd(X) = .

In woorden:

sd(X) is de wortel van de verwachtingswaarde van de kwadratische afwijking van E.

De variantie van X is het kwadraat van de standaardafwijking:

Var(X) = .


Als bij een experiment twee aantallen worden geteld, zeg X1 en X2, en X is de som van die twee aantallen, dan geldt: E(X) = E(X1) + E(X2).

Als bovendien X1 en X2 onafhankelijk zijn, geldt: Var(X) = Var(X1) + Var(X2).


Zonder en met terugleggen
nCr is het aantal combinaties van r uit n. nCr = .
In een vaas zitten 25 knikkers, 10 rood, 12 wit, 3 blauw


De kans op 3 rode knikkers is: P(3 rood) = P(3 rood en dus 2 niet rood) =


  • We trekken er 5 knikkers uit, met terugleggen.

De kans op 3 rode knikkers is: P(3 rood) = P(3 rood en dus 2 niet rood) =

Dit laatste is een voorbeeld van een binomiale kans. We zeggen dat X binomiaal verdeeld is als X het aantal successen is bij een aantal herhalingen van een experiment, steeds met twee alternatieven: succes en mislukking, waarbij de kans op succes vast is (en dus ook die op mislukking). Hierboven zijn er 5 herhalingen steeds met succeskans  = 0,4 (“rood” is hier succes).


Als X binomiaal verdeeld is met n herhalingen en succeskans p, dan

E(X) = np

Var(X) =  .

Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt (binomiaal). De binomiaal berekende kans is dan ongeveer gelijk aan de werkelijke kans.



Cumulatieve kans
Als een toevalsgrootheid X de waarden 0, 1, 2, 3, 4, … kan aannemen, dan noemen we P(X ≤ 3) een cumulatieve kans. Deze is de som van de kansen: P(X=0), P(X=1), P(X=2) en P(X=3).





1   2   3   4   5   6   7   8

  • 3.8 Samenvatting Verdelingen Kansverdelingen
  • Verwachtingswaarde en standaardafwijking
  • Zonder en met terugleggen nCr
  • binomiale
  • Cumulatieve kans

  • Dovnload 0.88 Mb.