Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


3 Notatie en nauwkeurigheid

Dovnload 1.72 Mb.

3 Notatie en nauwkeurigheid



Pagina3/4
Datum05.12.2018
Grootte1.72 Mb.

Dovnload 1.72 Mb.
1   2   3   4

3.3 Het getal nul en de positionele notatie

Een belangrijke ontdekking in de geschiedenis van de talstelsels is het getal nul, dat in het Romeinse talstelsel nog niet voorkomt. De symbolen voor de cijfers 1 t/m 9 waren in India meer dan tweeduizend jaar geleden uitgevonden. Het duurde tot de 5e eeuw voordat de nul zijn intrede deed.

Ons positionele talstelsel heeft het grondtal tien omdat er slechts tien cijfers gebruikt worden. ‘Positioneel’ wil zeggen dat de plaats van een cijfer in het getal een bepaalde waarde vertegenwoordigt.

Met de tien cijfers 0 tot en met 9 is elk willekeurig natuurlijk getal te schrijven. Bij grote getallen van meer dan vier cijfers kunnen groepjes van drie cijfers worden gescheiden door een spatie (of door een punt), bijvoorbeeld 2 360 000. In sommige landen gebruikt men een komma als scheidingsteken, bijvoorbeeld 2,360,000.



Opgaven
Opgave. Schrijf in de turfnotatie de getallen 17 en 9. Tel deze bij elkaar op.




Opgave. Op de gevel van een huis staat een jaartal, zie de foto. In welk jaar is dit huis gebouwd? Let op de bijzondere schrijfwijze van een M: CIƆ en een D: IƆ. Op een ander huis staat het jaartal

CIƆIƆCCXCIV. Hoe oud is dit huis?


Opgave. Schrijf je geboortedag, maand en jaar als Romeinse getallen. Let op: schrijf niet meer dan één cijfer voor een cijfer met een hogere waarde, om dit ervan af te trekken (bijvoorbeeld: 8 is niet IIX maar VIII). Bovendien, alleen een I mag voor V of X staan, alleen een X voor L of C, alleen een C voor D of M. Daardoor mag je voor 99 niet IC schrijven maar moet het zijn XCIX.

NB. Deze beperkingen zijn uit de Middeleeuwen, de Romeinen kenden ze niet.


Opgave. In het Romeinse talstelsel is XC een ander getal dan CX, dus de plaats van de cijfers ten opzichte van elkaar is van belang. Toch is dit geen positioneel talstelsel. Waarom niet?
Opgave. Waarom is het cijfer 0 voor de positionele notatie noodzakelijk?
Opgave. Wat is de betekenis van de woorden dozijn en gros? Bedenk situaties waarin het rekenen in het twaalftallig stelsel gebruikelijk is of waarvoor het handig zou zijn.
Opgave. Schrijf in woorden de volgende getallen in het Nederlands, Duits, Engels en Frans:

12, 13, 14, 15, 25, 52, 73, 86, 97.

Schrijf achter ieder woord de cijfers in de volgorde waarin ze in dat woord voorkomen. (schrijf voor bijvoorbeeld twintig/zwanzig/twenty/vingt een 2). Welke getallen in welke taal geven problemen? Wat merk je op ten aanzien van de volgorde van de cijfers en het gebruik van het grondtal?
Opgave. Schrijf in woorden de volgende getallen (alleen in het Nederlands):

9765


643 981

1 023 230



37 211 435 078
Opgave. Het positiestelsel is handig bij het optellen van grote getallen. Je kunt eenheden, tientallen en honderdtallen optellen als je de getallen netjes onder elkaar zet. Tel op: 2345 en 5432.
(Bedenk hoe dat met turven of met Romeinse cijfers zou gaan . . .)
Opgave. Wat wordt in Amerika bedoeld met: “This car costs $ 24,500”? Wat voor soort auto koop je in Nederland voor € 24,50?

3.4 Breuken
Als je twaalf muntjes voor een kermisattractie verdeelt onder vier personen krijgt ieder drie muntjes. Het deeltal (dat gedeeld wordt, 12) is een veelvoud is van de deler (4). Het quotiënt (de uitkomst van de deling, 3) is een geheel getal, de deling gaat ‘mooi’ op. Maar twaalf muntjes zijn niet op een eerlijke manier te delen met twintig personen.

Met pizza’s is dat anders: als twaalf pizza’s eerlijk worden gedeeld met twintig personen krijgt met ieder pizza. Het deeltal is geen veelvoud van de deler, de uitkomst is niet een geheel maar een gebroken getal dat wordt geschreven als een breuk.

Breuken worden rationale getallen genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven tussen twee getallen (de teller en de noemer). De rationale getallen zijn de gehele getallen en de gebroken getallen samen. Elk rationaal getal is als een breuk te schrijven, ook een geheel getal, bijvoorbeeld .
De verhouding tussen teller en noemer blijft dezelfde bij vermenigvuldigen met hetzelfde getal. De getalswaarde van de breuk verandert niet. Je kunt dus ook teller en noemer door hetzelfde getal delen om de breuk te vereenvoudigen. Dat kan eventueel in stapjes, je deelt steeds teller en noemer door een gemeenschappelijke deler, bijvoorbeeld (eerst teller en noemer gedeeld door 2, daarna door 3). Je kunt ook eerst teller en noemer schrijven als producten van priemfactoren en dan delen door de gemeenschappelijke factoren. Die vormen immers samen de ggd.
Om breuken bij elkaar op te tellen, van elkaar af te trekken of te vergelijken, is het nodig om ze gelijknamig (de noemers gelijk) te maken. Daarvoor heb je een gemeenschappelijk veelvoud van de noemers nodig, bijvoorbeeld . Hier is als nieuwe noemer 12 gekozen omdat dit het kgv van 6 en 4 is. Het is natuurlijk ook mogelijk om het product van de twee noemers te nemen (6 × 4 = 24) maar dat levert extra rekenwerk op en je moet zeker achteraf de breuk vereenvoudigen.
3.5 Kommagetallen, percentages en promillages
Kommagetallen zijn een uitbreiding op het positionele talstelsel doordat posities met waarde 10-1=, 10-2=, 10-3=, enz. zijn toegevoegd. Bijvoorbeeld: .

Kommagetallen (of decimale getallen of tiendelige breuken) zijn een handige schrijfwijze voor breuken waarvan de noemer 10, 100, 1000, enz. is. Bovendien worden ze vaak gebruikt om een goede benadering te geven van andere breuken en van getallen die niet als breuk te schrijven zijn. 4,667 is en dit is een benadering, in drie decimalen nauwkeurig, van . In plaats van een komma schrijft men in landen als Amerika en Japan een punt en daar laat men vaak een enkele 0 voor de komma weg. Een half wordt dan genoteerd als .5. Je kunt dit ook zo op een rekenmachine intikken.
Percentages zijn een bijzonder soort kommagetallen. Het procentteken % is waarschijnlijk ontstaan als een slordige schrijfwijze van No/c. No is een afkorting van numero (getal) en c staat voor cent (honderd). Dus 5% is eigenlijk de breuk 5/100 of en dat is weer, als kommagetal geschreven: 0,05. Naast percentage er is ook het promillage ‰: per mille (mille is duizend).
Een breuk schrijven als een kommagetal is lang niet altijd mogelijk. Bijvoorbeeld, afgerond op 32 decimalen: het is niet precies gelijk aan het kommagetal. Je ziet wel de regelmaat in de decimalen: de serie 142857 herhaalt zich, we noemen dit een repeterende breuk. Er is een speciale notatie voor, het repeterende gedeelte wordt aangegeven door een schuine streep door het eerste cijfer en door het laatste cijfer. Bijvoorbeeld en .
1   2   3   4

  • 3.5 Kommagetallen, percentages en promillages

  • Dovnload 1.72 Mb.