Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


Exact Rekenen Soms klopt het, maar vaak ook niet Inhoud

Dovnload 199.01 Kb.

Exact Rekenen Soms klopt het, maar vaak ook niet Inhoud



Pagina1/3
Datum21.06.2017
Grootte199.01 Kb.

Dovnload 199.01 Kb.
  1   2   3


Exact Rekenen



Soms klopt het, maar vaak ook niet

Inhoud:

  1. Werken met getallen

  2. Machten en de wetenschappelijke notatie

  3. Werken met formules

  4. Gemeenschappelijke oplossingen van meerdere formules

  5. Afsluiting



Het probleem:
Als je aan het einde van leerjaar 3 kiest voor het profiel “natuur en techniek” of “natuur en gezondheid” krijg je behoorlijk veel exacte vakken. Bij wiskunde, natuurkunde en scheikunde moet je vaak goed kunnen rekenen. Je moet soms werken met machten en de wetenschappelijke notatie, je moet in formules waarden voor variabelen invullen en ze soms met elkaar combineren, je moet vergelijkingen oplossen. Dit alles kun je jezelf met de theorie en de opgaven in dit boekje aanleren.
De opdracht:
Bestudeer de inhoud van dit boekje zelfstandig; maak ook de opgaven zelfstandig. Vraag – als je ergens niet uit komt – hulp aan een medeleerling of je leraar. Maar puzzel eerst zelf…
De werkwijze:
Er zijn vijf paragrafen die je in 9 lesuren moet doorwerken. Daarnaast heb je wat extra werktijd nodig in totaal ongeveer 12 klokuren werk.

Maak om te beginnen een planning.

Houdt er rekening mee dat het geheel wordt afgesloten met een eindtoets.
Lees steeds eerst per paragraaf de inleiding den de theorie. Wat je daarvan niet snapt, vraag je eerst. Maak daarna zoveel opgaven als voor jou nodig is en kijk die in de les na (de antwoorden krijg je via je leraar).

Werk vooral de opgaven onder “Toepassen” grondig door. Deze kosten iets meer tijd, het zijn samengestelde opgaven.


In paragraaf 5 “Afsluiting” kun je jezelf op de eindtoets voorbereiden. Je maakt dan een eigen samenvatting en enkele toetsopgaven.
Lever na de eindtoets het volgende in:


  • De samenvatting van de theorie in dit boekje.

  • De uitwerkingen (en de opgaven) van de eindtoets.

1 Werken met getallen

Inleiding
Bij de vakken wiskunde, natuurkunde, scheikunde moet je vaak met getallen werken. Je moet weten hoe ze in elkaar zitten, hoe je ermee kunt rekenen met je rekenmachine, hoe je ze moet afronden, en dergelijke meer…

In de theorie staat het belangrijkste nog eens weergegeven. Kijk goed of je daarvan alles begrijpt voordat je aan de opgaven begint.


Theorie

Getallen bestaan uit cijfers. De plaats van een cijfer geeft zijn waarde aan.

Bij decimale getallen werkt dat bijvoorbeeld voor 273,15 graden Kelvin zo:

2 7 3 , 1 5 K (Kelvin)

. . . , . 5 honderdsten

. . . , 1 tiende

. . . , decimale komma (op je rekenmachine een decimale punt)

. . 3 eenheden

. 7 tientallen

2 honderdtallen


Niet altijd zijn alle cijfers van een getal even belangrijk, even significant.

Het getal 273,15 bestaat uit vijf significante cijfers, maar je kunt het ook afronden op drie significante cijfers.

Dan krijg je: 273,15  273, omdat het vierde cijfer (de 1) minder is dan 5.

(Als dit cijfer 5 of hoger was geweest, dan had je er 274 van moeten maken.)

Je kunt 273,15 niet zonder meer afronden op twee significante cijfers, want er staan drie cijfers voor de komma.

Je moet wel oppassen dat bij het aantal significante cijfers nullen vooraan een getal niet worden meegerekend, maar achteraan wel. Als je bijvoorbeeld 0,001043 moet afronden op twee significante cijfers, krijg je: 0,0010.


Bij het rekenen met getallen gebruik je vaak een rekenmachine; je hebt inmiddels geleerd hoe je met zo’n machine moet omgaan, al weet je nog niet van alle knopjes de betekenis. Zo’n machine moet je zindelijk gebruiken, met andere woorden: je moet de juiste toetsen weten in te drukken, maar je moet ook je antwoord kunnen controleren door een schatting. Een schatting is een ruwe afronding:

273,15  3,14  270  3 = 810

Omdat beide getallen naar beneden zijn afgerond, ligt de werkelijke uitkomst uiteraard hoger, maar een eerste idee van de orde van grootte heb je zo wel gekregen.
Ook bij het rekenen met procenten maak je van decimale getallen gebruik.

Immers: 1 % = 0,01

Dus:


  • 24% van 80 gram bereken je zo: 0,24  80 = 19,2 gram  19 gram (als je op twee significante cijfers afrondt);

  • als je aan 80 gram nog 24% moet toevoegen, dan krijg je 124%, dus:
    1,24  80 = 99,2 gram;

  • als je van 80 gram 24% moet afhalen, dan houdt je nog 76% over, dus:
    0,76  80 = 60,8 gram;

  • als je van 80 gram 30 gram weghaalt, dan heb je het = 0,375 deel weggehaald, dat is 37,5%.


Een wat lastiger voorbeeld uit de scheikunde:


  • Hoeveel gram van een 20-procents-waterstofperoxide-oplossing heb je nodig om 800 gram te maken van een 5-procents-waterstofperoxide oplossing?
    Oplossing:
    In die 800 gram van de 5%-oplossing moet 0,05  800 = 40 gram waterstofperoxide zitten. Van een 20%-oplossing is de hoeveelheid waterstofperoxide 20%, dus: 20 gram van elke 100 gram. Je hebt 40 gram nodig, dus je moet 200 gram 20%-oplossing gebruiken.


Oefenen
Opgave 1.1

Gebruik je rekenmachine en voer de volgende berekeningen uit (maak steeds eerst een schatting van je antwoord):


a 2  0,043 + 1,21 b 4,05  (13,975  20,6) c

d 0,0045  (1  0,037)2 e f
Opgave 1.2

Rond de zes antwoorden van opgave 1 af op twee significante cijfers.


Opgave 1.3

Waarom mag je het gemiddelde van 5,5 en 5,4 niet zo op een geheel getal afronden:

Optellen en delen door 2 geeft: 5,45, afgerond op één decimaal 5,5.

Dit afronden op gehelen geeft: 6.


Opgave 1.4

Een klok tikt tweemaal per seconde. Hoe vaak tikt die klok per dag? En hoe vaak per jaar?


Opgave 1.5

Johanna is één miljoen minuten oud. Over hoeveel jaar wordt zij 20?


Opgave 1.6

Een bepaalde zalf bevat 1% vioform, 2% salicylzuur en voor de rest vaseline. Hoeveel milligram vaseline zit er in een doosje waarin 75 gram van die zalf zit?


Opgave 1.7

Hoeveel gram boorzuur zit er in 450 gram boorzuuroplossing met een sterkte van 2%?


Opgave 1.8

Hoeveel gram weegt 4,66 cm3 brons als de dichtheid van brons 8,9 gram/cm3 is? Geef je antwoord met twee significante cijfers.


Opgave 1.9

In een bekerglas met 200 mL water los je 87,6 gram natriumbromide op. Bereken de concentratie van deze oplossing in gram/liter.


Opgave 1.10

Je maakt 700 mL natriumcarbonaat-oplossing met een concentratie van 3,74 gram/liter. Hoeveel gram natriumcarbonaat heb je daarvoor nodig?


Opgave 1.11

58,9 gram kobalt geeft 25,0 liter waterstof als het wordt opgelost in een voldoende hoeveelheid van een bepaald zuur. Hoeveel liter waterstof ontstaat als 9,69 gram kobalt in dat zuur wordt opgelost?


Opgave 1.12

De snelheidsmeter van een auto wijst 4% teveel aan. Op binnenwegen (buiten de bebouwde kom) mag je maximaal 80 km/h rijden. Welke snelheid op de snelheidsmeter hoort daar bij?


Opgave 1.13

Iemand rijdt in zijn auto op een weg waar hij maximaal 80 km/h mag rijden. Op zijn snelheidsmeter houdt hij ook precies die snelheid aan. Toch wordt hij bekeurd voor te hard rijden: 86,8 km/h. Hoeveel % geeft zijn snelheidsmeter te veel aan?


Opgave 1.14

Een elektricien moet TL-buizen monteren in een zaal, die 12 m lang is en 5 m breed. De belichting moet ten minste 400 lumen/m2 bedragen. Hoeveel TL-buizen zijn er nodig als elke buis een lichtstroom van 2200 lumen geeft en slechts 45% van het uitgestraalde licht nuttig kan worden gebruikt?


Opgave 1.15

Door indrogen blijkt de lengte van een boomstam met 2% en de diameter met 5% af te nemen. Met hoeveel % neemt het volume van die boomstam af? (Ga er van uit, dat de boomstam een cilindervorm heeft.)


Opgave 1.16

Van een (zuiver cilindervormig) literblik is de diameter even groot als de hoogte. Uit hoeveel cm2 metaalplaat bestaat dat blik? Rondje antwoord af op twee significante cijfers.


Opgave 1.17

Hoeveel gram 80-procents-zwavelzuur is er nodig voor 500 gram 60-procents-zwavelzuur?


Opgave 1.18

Je vermengt 400 gram van een 20%-waterstofperoxide-oplossing met 600 gram van een 5%-waterstofperoxide-oplossing. Welke sterkte heeft het mengsel?



Toepassen
Opgave 1.19

Bij het berekenen van de hoeveelheid tijd die een scholier in de bovenbouw op school moet doorbrengen, gaat het ministerie uit van 40  40 = 1600 klokuren studiebelasting per schooljaar. Een schooljaar duurt echter slechts 38 weken. Bovendien wordt maar een deel van deze totale studietijd in de les doorgebracht. Verder duren lesuren maar 50 minuten i.p.v. een klokuur.

Een bepaalde school wil dat leerlingen ongeveer 75% van de totale studiebelasting vullen met lesuren. Hoeveel lesuren per week krijgt een leerling dan ongeveer?
Opgave 1.20

Je hebt twee voorraadjes met een oplossing van chloorzuur. Voorraad A heeft een concentratie van 32,3 gram/liter. Van voorraad B is de concentratie onbekend.

Van voorraad A reageert 10 mL met 4,65 mL van een natriumhydroxide-oplossing.

Van voorraad B reageert 10 mL met 1,21 mL van die natriumhydroxide-oplossing. Bereken de concentratie van voorraad B.


Opgave 1.21

De wereldbevolking groeit op dit moment met ongeveer 2,1% per jaar. Neem aan, dat er in 1996 ongeveer 6 miljard mensen op aarde zijn.



  1. Hoeveel zijn dat er dan in 2050? Geef je antwoord in twee significante cijfers.

  2. In welk jaar is de totale wereldbevolking vertienvoudigd?


Opgave 1.22

  1. Onder het rendement van een lamp versta je het percentage van de opgenomen elektrische energie, dat wordt omgezet in licht. Een spaarlamp van 13 Watt geeft evenveel licht als een gloeilamp van 60 Watt. Zo’n gloeilamp heeft een rendement van 8%. Hoeveel rendement heeft de spaarlamp?

  2. Onder het rendement van een zonnecel versta je het percentage van de opgenomen zonne-energie, dat wordt omgezet in elektrische energie. Omstreeks 12 uur ‘s middags levert het zonlicht op een bepaald zonnepaneel een energie van 1000 Watt op elke m2. Op dit paneel van 0,5 m2 zijn 200 zonnecellen aangebracht. Die cellen hebben een rendement van 18 procent.
    Bereken hoe groot het maximale elektrische vermogen is dat dit zonnepaneel kan leveren.

2 Machten en de wetenschappelijke notatie

Inleiding

Je hebt al in de eerste paragraaf ontdekt dat bij de exacte vakken eenheden en het omrekenen van eenheden een belangrijke rol spelen. Verder heb je regelmatig met hele grote of juist met heel kleine getallen van doen. Over deze twee zaken gaat deze paragraaf.


Theorie

Bij het werken met getallen bij toepassingen in de exacte vakken heb je met twee dingen heel vaak te maken:



  • je moet bijna altijd met eenheden rekening houden;

  • je hebt heel vaak met heel kleine of heel grote getallen te maken.

In beide gevallen is het handig als je met machten van 10 kunt werken. Bekijk deze tabel met machten van 10:

macht 101 102 103 104 105


uitkomst 10 100 1000 10000 100000 …
Je ziet dat de exponent van de macht van 10 hetzelfde is als het aantal nullen.

Ga je in deze tabel van links naar rechts, dan vermenigvuldig je elke stap met 10. Ga je van rechts naar links dan deel je elke stap door 10. Maar dat laatste betekent dat je de tabel verder naar links kunt voortzetten:


macht 103 102 101 100 101
uitkomst 0,001 0,01 0,1 1 10
Enzovoorts. Nu geeft de exponent het aantal cijfers achter de decimale komma weer.

Dit alles kun je gebruiken om getallen met veel nullen erin beknopter op te schrijven.


Bijvoorbeeld:


  • 200.000.000 = 2  100.000.000 = 2  108

  • 230.000.000 = 23  10.000.000 = 23  107
    of: 230.000.000 = 2,3  100.000.000 = 2,3  108

  • 625 000 = 6,25  100 000 = 6,25  105

  • 0,00002 = 2  0,00001 = 2  105

  • 0,00371 = 371  0,00001 = 371  105
    of: 0,00371 = 3,71  0,001 = 3,71  103.

Let goed op het aantal plaatsen dat telkens de decimale komma opschuift.

Bij een aantal situaties kreeg je twee mogelijkheden te zien. Kennelijk moet je dus wat afspreken over de mogelijkheid die je wilt hebben. Welnu, die afspraak heet de wetenschappelijke notatie voor decimale getallen.
Bij die wetenschappelijke notatie schrijf je een getal in de vorm:

a  10n waarin a waarden vanaf 1 tot 10 mag aannemen en n een geheel (mag ook negatief) getal is.
Je zegt wel dat een getal dan in de standaardvorm staat.

Ook je rekenmachine kent die wetenschappelijke notatie. Hij gebruikt hem automatisch als de uitkomsten vanwege het aantal nullen erin niet in het beeldschermpje passen. Zelf kun je getallen in de standaardvorm invoeren m.b.v. de toets [EXP] of [EE].


Hier nog een paar voorbeelden van getallen in wetenschappelijke notatie:

getal wetenschappelijke notatie op je rekenmachine

----------------------------------------------------------------------------------------------

1.170.000.000 1,17  109 1.17 09 of: 1.17E+09

81.000 8,1  104 8.1 04 of: 8.1 E+04

0,00000456 4,56  106 4.56 06 of: 4.56 E-06

0,0014 1,4  10-3 1.4 03 of: 1.4 E-03

Door gebruik te maken van de wetenschappelijke notatie, kun je 273,15 wel afronden op twee significante cijfers, namelijk:

273,15 = 2,7  102

Rekenen met getallen in de wetenschappelijke notatie gaat zo:


  • 1,17  109 + 4,5  108 = 11,7  108 + 4,5  108 = 16,2  108= 1,62  109

  • 1,17  109  4,5  108= 1,17  4,5  109  108 = 5,265  1017



Reken dit alles na met je rekenmachine!

Met behulp van machten van 10 kun je eenheden omrekenen. Daarbij gaat het steeds om vermenigvuldigen met machten van 10 of delen door machten van 10.


De volgende voorvoegsels moet je uit het hoofd weten:


macht

naam voorvoegsel

teken

basiseenheden

macht

naam voorvoegsel

teken

1018


exa


E


meter (m)


101


deci


d


1015


peta


P


gram (g)


102



centi


c


1012


tera


T


seconde (s)


103



milli


m


109


giga


G


ampère (A)


106


micro





106


mega


M


kelvin (K)


109


nano


n


103


kilo


k


mol (mol)


1012



pico


p


102


hecto


h


candela (cd)


1015



femto


r


101


deca


da




1018


atto


a



Nog een paar omrekenvoorbeelden:

  • 2,01 k = 2,01  103  = 2010  ( = ohm)

  • 7,5 pg = 7,5  1012 g = 0,0000000000075 g (g = gram)

  • 0,13 km2 = 0,13  1 km  1 km = 0,13  103 m  103 m = 0,13  106 m2 = 130.000 m2

  • 0,23 L = 0,23 dm3 = 0,23  1 dm  1 dm  1 dm = 0,23  101  101  101 m =
    0,23  103 m3 = 0,00023 m3






Oefenen



Opgave 2.1

Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie:



a 12.400 d 348.000

b 150.000.000 e 0,000000137

c 0,000342 f 0,0056


Opgave 2.2

Rond de getallen van opgave 2.1 af op twee significante cijfers m.b.v. de wetenschappelijke notatie.


Opgave 2.3

Deze getallen staan in de wetenschappelijke notatie.

Schrijf ze zonder macht van 10.


a 2,51  107 d 5,5  103

b 2,51  107 e 6,022  1023

c 1,047  105 f 1,03  104
Opgave 2.4

Bereken (geef je uitkomst in de standaardvorm):




a 3,21  106  12,4  103 d 6,23  105 + 0,35  107
b e (234 + 3,15  103)2 + 4,5  105

c 6,23  104  0,763  109 f
Opgave 2.5

Er zijn minstens 1011 melkwegstelsels met elk gemiddeld 1011 sterren. Als 1 op de miljoen sterren een bewoonbare planeet heeft, hoeveel planetenstelsels zijn er dan met mogelijke vormen van leven?


Opgave 2.6

De afstand tot de dichtstbijzijnde ster bedraagt ongeveer 4  1013 km. Hoe lang doet een raket, die met een snelheid van 5,2  104 km/h voortbeweegt, over deze afstand? Geef je antwoord in jaren.


Opgave 2.7

Schrijf het juiste getal op in de standaardvorm:



a 2,0 k = ... (ohm) b 7,5 hm= ...m c 4,5 cm3 = ... mL

d 1,6 ha = 1,6hm2 = ... m2 e 150 m= ... m f 12 mA= ... A

g 12 nm = ... mm h 80 Mb = ... b (byte) i 1,5 ps = ... s
Opgave 2.8

Bij de bepaling van de dikte van een bepaalde metaalfolie meet je de dikte van 50 lagen. De gemeten dikte is 1,34 mm. Hoe dik is deze folie? Geef je antwoord in m.


Opgave 2.9

De lichtsnelheid in het luchtledige is ongeveer 2,998  108 m/s.

Een lichtflits van een laser wordt naar de maan gezonden. Het licht wordt gedeeltelijk teruggekaatst door een kwartskristal dat op de maan is geplaatst. De laserstraal keert 2,54 s nadat hij is uitgezonden terug op het aardoppervlak. Bereken de afstand van de aarde tot de maan in drie significante cijfers.
Opgave 2.10

Neem aan, dat de aarde een zuivere bol is. Voor het volume van zo’n bol geldt de formule:



Daarin is V het volume in kg/m3 en R de straal van de bol in m.

De massa van de aarde bedraagt ongeveer 6,0  1024 kg.

De straal van de aarde is ongeveer 6370 km.

Bereken de gemiddelde dichtheid van de aarde in kg/m3 in twee significante cijfers.


Opgave 2.11

1 mol  6,022  1023 atomen (het getal van Avogadro).



a Hoe groot is ongeveer de massa, in grammen, van een waterstofatoom als 1 mol waterstofatomen een massa van ongeveer 1,0 gram heeft?

b Hoeveel waterstofatomen zitten er ongeveer in 1,5 gram waterstof7
Opgave 2.12

Gebruik weer het getal van Avogadro (opgave 2.11).


  1   2   3

  • Lever na de eindtoets het volgende in
  • Oefenen Opgave 1.1
  • Opgave 1.4
  • Opgave 1.8
  • Opgave 1.10
  • Opgave 1.17
  • Toepassen Opgave 1.19
  • 2 Machten en de wetenschappelijke notatie Inleiding
  • Opgave 2.2
  • Opgave 2.7
  • Opgave 2.11

  • Dovnload 199.01 Kb.