Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


Inhoudsopgave 1 Situering 2

Dovnload 117.02 Kb.

Inhoudsopgave 1 Situering 2



Datum21.09.2017
Grootte117.02 Kb.

Dovnload 117.02 Kb.

Inhoudsopgave

1 Situering 2

2 Nomenclatuur 2

3 Historische vogelvlucht. 2

4 Historische vermeldingen. 4

5 Romeinse cijfers versus 'Arabische' cijfers. 6

6 Daar gaan we dan,... 6

De abacus 6

De optelling 8

De aftrekking 9

De verdubbeling en halvering 10

De vermenigvuldiging 11

De deling 14

7 Rekenen met geld 17

Courant geld en rekengeld 17

Het pond en de florijn 18

8 De stroken-abacus 21

Optellen 22

9 En de negenproef? 24

10 Op het internet 24

11 Bibliografie 25



Het voorblad: symbolische figuur uit Arithmetica, Gregor Reisch 1503

Een verdrietig kijkende Pythagoras en een glimlachende Boëtius hebben de strijd tussen penningrekenen en cijferen beslecht. De cijferende rekenaar heeft het blijkbaar gewonnen van de penningschuiver. Zoals o.a. zal blijken uit de syllabus, verliep deze strijd echter niet onder de vorm van een wedstrijd en duurde hij honderden jaren.

Ondanks het mooie beeld zitten er in de figuur nog een aantal anomalieën. Pythagoras leefde in de 6de eeuw voor Christus en Boëtius rond het jaar 500 na Christus: een wedstrijd tussen beiden is dus wel heel moeilijk te organiseren.. De eerste staat er niet echt voor bekend zich bezig gehouden te hebben met het “ambachtelijk” rekenen, en in zijn tijd werd er gewerkt met steentjes en niet met penningen. De tweede schreef wel werken over “arithmetica” maar kon nog geen kennis hebben van de Arabische cijfers waarmee hij op de afbeelding zo vrolijk rekent, want die kwamen in West-Europa maar binnensluipen in de 13de eeuw.

De dame die de twee heren beoordeelt is zoals het vaandel duidelijk maakt “Typus Arithmeticae”, of de stuurman (vrouw?) van de rekenkunde. Haar kleed geeft al duidelijk aan welke rekentechniek zij verkiest.

1Situering


Deze tekst biedt achtergrond bij een doe-sessie “rekenen met penningen”. In zo’n sessie wordt de deelnemer (in het verleden zowel collega’s wiskunde, als leerlingen van verschillende leeftijden uit het secundair onderwijs, als studenten in de lerarenopleiding wiskunde) ondergedompeld in middeleeuwse sfeer en leert hij of zij aan den lijve wat het betekent om te rekenen op de oude manier die gangbaar was vanaf de middeleeuwen tot aan de Franse revolutie. Op een actieve en verrassende wijze ontdekt men dat rekenen ook anders kan en waarom het zo lang op die manier gebeurde. We raden de geïnteresseerde lezer aan om bij lezing van de uitleg over de rekentechnieken de penningen er daadwerkelijk bij te halen en mee te doen.

2Nomenclatuur


Een (reken)penning is een plat, rond stuk metaal met een diameter van 20mm à 40mm.

Deze is best vergelijkbaar met een geldstuk, al heeft die geen enkele waarde.

Een (reken)tafel lijkt sterk op een ordinaire tafel. Het tafelblad vertoont echter een tekening bestaande uit evenwijdige lijnen of markeringen. Deze (horizontale) lijnen vormen de abacus (of telraam).


3Historische vogelvlucht.


Voor een kort historisch overzicht putten we uit: "De Kraewinkels Familie van de 17de Eeuw tot heden." Maaseik 10 Maart 1990 een artikel van M. Hendrickx

De rekenpenning vindt zijn oorsprong in Griekenland waar in de oudheid tellen gebeurde met steentjes of schelpen en waar geen schrijven bij te pas kwam. Toen deze voorwerpen in het oude Griekenland vervangen werden door kleine stukjes metaal ontstond de penning.

Onder de Romeinen werd het gebruik verder gezet onder de naam "calculus" vanwaar het Franse "caillon" (kiezelsteen) Met de ineenstorting van het Romeinse rijk verdween ook het gebruik van vermelde rekenmethode of "abacus".

De benedictijn Gerbert (ca. 950 - 1003), die later paus werd, vestigde door zijn geschriften de aandacht op de verdwenen rekenmethode. In vele kloosters werd er terug gerekend op de oude manier en vanaf de 13de eeuw werd deze rekenmethode weer gebruikt.

Onze rekenkunde is immers tamelijk jong. Niettegenstaande onze huidige Arabische cijfers omstreeks de 13de eeuw in Europa voorkwamen, duurde het toch tot in de 18de eeuw vooraleer de penningen volledig aan de kant geschoven werden.

De eerste rekenpenningen werden waarschijnlijk vervaardigd in de 13de eeuw voor de huishouding van de Franse Koningin Bianca van Castille (1187-1252) die een tijd het regentschap waarnam voor Lodewijk IX. Onder Lodewijk XI (1461-1483) werd het gebruik van de penningen veralgemeend. Dergelijke penning werd "jectoir, gestoir -of jetton" genoemd, benaming afgeleid van bet werkwoord "jeter" (werpen), want om te rekenen werden de penningen op een speciale manier op een tafel neergelegd of ‘geworpen’. Op sommige rekenpenningen is deze handeling van rekenen om te betalen duidelijk vermeld door de tekst "jettes bien, paies bien", dat we vertalen als "werp goed, betaal goed".

Vanuit Frankrijk verspreidde het gebruik van deze penningen zich naar de Lage Landen en de rest van Europa. Zij werden vervaardigd in gecontroleerde munthuizen in Frankrijk, Duitsland en de Nederlanden. De vroegste penningen waren van koper of messing, later werden ook zilveren penningen gebruikt.

Ook ontstond later het gebruik om van deze rekenpenningen, die werktuigen waren, een soort gratificatiepenning te maken. Zo werden deze penningen als nieuwjaarsgeschenk gebruikt. Koningen, hun familie en ambtenaren ontvingen ze - vaak in prachtige beurzen - ieder in verhouding met zijn ambt en behoeften.

Wanneer het gebruik van de rekenpenningen terugliep werden ze ingezet als fiches o.a. bij het kaartspel. Ook werden nog grote series penningen vervaardigd met o.a. afbeeldingen ontleend aan de Griekse of Romeinse numismatiek, bijbelse voorstellingen en afbeeldingen van vorsten, omdat deze penningen al in de l8de eeuw door liefhebbers verzameld werden.

In West-Europa bleven ze in gebruik tot ca. 1700 en in Oost-Europa tot ca. 1800. Voor het tellen gebruikte men tafels waarvan de oppervlakte door inlegwerk, inkerving of beschildering verdeeld was door horizontale en verticale lijnen.

Ook werd soms een doek met dergelijke lijnen over een tafel gelegd. De penningen werden op deze lijnen gelegd - of geworpen- volgens eenheden, tientallen, honderdtallen en op de vierde lijn, die met een kruisje gemerkt was, kwamen de duizendtallen terecht.

Om getallen samen te tellen werden de penningen verplaatst en veranderden ze van waarde wanneer ze van lijn veranderden. Wie meer uitleg wil over dit rekenen raden wij aan de publicatie 26, Munt in Limburg, uitgegeven door de " Provinciale Dienst voor bet Kunstpatrimonium " te raadplegen, waar meerdere rekenvoorbeelden afgebeeld zijn (pag. 29 ~ 37).

Gegevens over bet rekenen met penningen in onze streken vinden wij vermeld in de rekenboeken die vanaf de 18de eeuw geregeld uitgegeven werden en meestal door Antwerpse schoolmeesters opgesteld waren. In de Brugse scholen werd bet rekenen met penningen nog onderwezen in de 17de eeuw. Uit een Frans manuscript uit 1679, vermeld in het werk van A.Blanchet, citeren we volgende tekst i.v.m. rekenen met penningen : "on apprendra aux élèves a jeter á la plume et aux jetons", men zal de leerlingen leren "werpen" met de pen en de penningen, "jeter" of werpen is hier gebruikt in de betekenis van tellen of rekenen.

De oude Vrije Rijksstad Neurenberg nam een bijzondere plaats in voor bet vervaardigen van rekenpenningen. De burgers mochten er deze penningen slaan en hun productie verkopen.

Ontstaan als vrij beroep groeide dit ambacht uit tot een goed georganiseerde gilde onder toezicht van de Nurnbergse stadsraad.

Nurnberg werd aldus een centrum voor bet maken van rekenpenningen die van daaruit verhandeld werden. Tussen 1450 en 1534 vermeldden de "Meisterbuchern" 46 meesters die rekenpenningen mochten slaan.Volgens de gilderegels van 1601 moest een gezel na vier leerjaren nog zes jaren deze werkzaamheid uitoefenen alvorens hij zijn examen als meester mocht afleggen. Op de jaarlijkse "Messe" te Frankfurt en te Leipzig werden de Nurnbergse rekenpenningen verkocht aan tussenhandelaren uit gans Europa.

Vooral Frankrijk en de Nederlanden waren grote afnemers. Zo waren in het 17de eeuwse Amsterdam alleen zeven handelaren die rekenpenningen verkochten. De oudste penningen vermelden geen gegevens betreffende de maker. De aanwezige tekst heeft dikwijls geen betekenis en geeft bij wijze van versiering slechts de impressie van een randschrift. Later bepaalde de stadsraad dat doopnaam en -toenaam van de makers en het woord "Rechenpfenning" moesten vermeld worden. Ook mocht de penning niet verguld of verzilverd worden, om te vermijden dat ze met muntstukken zouden verwisseld worden. De eerste typen waren imitaties van Nederlandse typen zoals de Venuspenning.

Verder waren er : de schoolpenning - met op de voorzijde een man achter een rekentafel en op de keerzijde het alfabet in vijf regels, de scheepspenning - geïmiteerd van de Engelse nobels met op de keerzijde vier Franse lelies in een vierkant, de Markuspenning - met op de voorzijde de leeuw van St- Markus en op de keerzijde een rijksappel geplaatst in een dubbele driepas en driehoek.

Voor meerdere gegevens inzake andere makers van Nurnbergse penningen verwijzen wij naar een bijdrage verschenen in de "Muntkoerier", 1987, 8, pag- 41 - 45, waar ook verdere literatuur vermeld is.

Ten slotte willen we nog aanstippen dat er zeer vele rekenpenningen of andere penningen geslagen werden. In het "Staatlichen Munzen -und Medaillon Kabinet" te Munchen worden meer dan 8000 rekenpenningen bewaard, die vroeger verzameld werden door A- König. En alleen in Frankrijk werden door administraties, gilden, geestelijkheid, voorname families, steden en allerlei instellingen in twee eeuwen tijds ongeveer 15000 verschillende penningen geslagen.


( Artikel van M. HENDRICKX in de uitgave van "De Kraewinkels Familie van de 17de Eeuw tot heden." Maaseik 10 Maart 1990)

4Historische vermeldingen.


Engeland:

Shakespeare in wintervertellingen (IV,3) : (1610)



“ I cannot do ‘t without counters”

“Ik kan het(= berekening!) niet doen zonder penningen.”

Chausser in de canterburry tales: (14de eeuw)



"And up into his countour hous goth he,

to recken with himselven, ..."

"En hij gaat in zijn penningenkamer,

om ermee te rekenen,..."

Frankrijk:

Leibnitz in nouveaux essais sur l'entendement humain (1701)



" Il est cependant très vrai que l'abus des mots est une grande source d'erreurs,

car il en arrive une manière d'erreur de calcul, comme si

en calculant on ne marquoit pas bien la place du jetton, ou si ... »

Le Gendre auteur in 1729 van "Arithmétique en sa perfection" voegt er bij een

heruitgave in 1740 een hoofdstuk aan toe: 'Traité d'arithmetique aux jetons'

Ook in de editie van 1781 komt het hoofdstuk nog voor!

De motivatie van deze toevoeging spreekt boekdelen:

'Cette manière de calculer est plus pratiquée par les femmes que par les hommes, cependant plusiers personnes qui sont employées dans de Finances et dans toutes Jurisdictions s'en servent avec beaucoup de succès.'

Duitsland:

Luther in een moraliserende brief: (1527)



" Die zalpfennig sind vorm rechenmeister alle gleich, sie gelten aber wie

er sie setzt. Also die Menschen vor Gott, seind nach den ständen, darein

sie Gott setzt, ungleich !"

" Rekenpenningen zijn allen gelijk voor de rekenmeester, maar ze halen

hun waarde uit de plaats waar hij die legt. Hetzelfde geldt voor de mensen

naargelang God ze plaatst, zijn ze verschillend."

Onze eigen “lage landen”

In de vele rekenboeken had men aandacht voor het aanleren van beide methodes

Uit een rekenboek dat in 1510 in Antwerpen werd uitgegeven:


"Hier na volcht die maniere om te leeren cijfferen ende rekenen metten PENNINGHEN

Simon Stevin is natuurlijk overtuigd van de meerwaarde van het cijferen zoals blijkt in “De Thiende” in 1585 over het nut van het tiendelig rekenen:


"Dergelijcke lichticheyt oock veroirsaeckende, den genen die
de LEGPENNINGEN gebruycken, so hier naer opentlick blijcken sal"


Vandaag de dag:

De schatbewaarder van de plaatselijke vrouwenbond noemen wij penningmeester.

Nee, geen schatbewaarster en geen penningmeesteres !?

5Romeinse cijfers versus 'Arabische' cijfers.


Het is ontegensprekelijk: de 'Arabische' (Indische) cijfers hebben de rekenpenning naar de vergetelheid verbannen. Het is pas dankzij goede rekentechnieken met de pen zoals wij die vandaag de dag kennen en ... goedkoop papier, dat de grote doorbraak er is gekomen.

We onderscheiden drie fasen in de evolutie van ons huidig rekenen.

a) De periode van de Romeinse cijfers, waarbij voor het uitvoeren van berekeningen een abacus noodzakelijk is.

b) Vervolgens de periode tijdens dewelke men wel de Arabische cijfers kent, maar waarin men die enkel gebruikt om de resultaten neer te schrijven. De berekeningen gebeuren eveneens met penningen. Zo verkoos Leibnitz te rekenen met een abacus, maar hij schreef wel al de resultaten in 'onze' cijfers. Recorde (1542) legt uit hoe je 2659 optelt bij 8342 met behulp van een abacus. De getallen worden wel genoteerd met Arabische cijfers.

c) Tenslotte de periode waar het rekenen via het positiestelsel gebeurt en na tal van verbeteringen tot ons huidig systeem geleid heeft.

6Daar gaan we dan,...


Op een abacus staan de Romeinse symbolen vermeld. Door met die symbolen te werken, is het makkelijker om aan de verleiding te weerstaan van uit het hoofd te rekenen. Het antwoord op de vraag XI maal VI komt inderdaad vermoedelijk minder snel dan dezelfde vraag onder een meer bekende vorm: 11 keer 66?

Maar natuurlijk is het nodig om de Romeinse cijfers om te zetten naar onze Arabische , al was het maar om ons werk te controleren. Om jullie te plezieren een kindertrucje om bij die omzetting te helpen:

Ik Vervang Xanders Lekkere Citroenen Door Meloenen.

I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1000


We raden je aan om de volgende voorbeelden en eventuele oefeningen effectief met de penningen uit te voeren. Het proberen tekenen en volgen van de verschillende overgangen op een blad papier leidt al vlug tot verwarring. Het rekenen met penningen moet je echt in de vingers krijgen.

De abacus

De abacus bestaat uit horizontale lijnen waaraan een specifieke waarde wordt toegekend.

De verdeling door verticale lijnen is niet noodzakelijk.

De jetons worden zowel op de lijn als tussen de lijnen gelegd. Daarbij nemen ze de waarde aan van ofwel de lijn, ofwel de tussenruimte. De waarde van de tussenruimte is vijfmaal de waarde van de lager gelegen lijn en ook de helft van de waarde van de bovenliggende lijn.

De lijnen vertegenwoordigen dus feitelijk ons tiendelig positiestelsel. Waarom 5 zo'n specifieke rol speelt is onderwerp voor een afzonderlijke sessie.

Hiernaast zie je het getal 262 of CCLXII




De optelling

Werkwijze


Het principe van de optelling is evident:

  • Leg het eerste getal.

  • Leg vervolgens het tweede getal ernaast / in een andere strook. Zo kan je 'herlezen' vooraleer effectief op te tellen.

  • Schuif beide getallen samen en herleid.

Voorbeeld 1


1826 + 1172 = 2998

MDCCCXXVI + MCLXXII = MMDCCCCLXXXXIII of MMDCDLXLVIII


Voorbeeld 2


1826 + 2269 = 4095

Na herleiden vinden we:

MDCCCXXVI + MMCCLXVIIII = MMMMLXXXXV of MMMMLXLV

Hoe herleiden?


  • Vijf penningen op een lijn worden één penning in de bovenliggende tussenruimte.




  • Twee penningen in een tussenruimte worden één penning op de bovenliggende lijn.


Om efficiënt te rekenen met penningen is nodig om snel posities en aantallen te herkennen en de regels te volgen en dus niet aan hoofdrekenen te doen (500 + 500 is 1000).

Finaal kan er in elke tussenruimte maximaal één penning liggen en op elke lijn, kan je maximaal vier penningen overhouden!



De aftrekking

Werkwijze


De werkwijze is de omgekeerde van de optelling. Negatieve getallen komen hier niet in aanmerking.

Voorbeeld 1


3886 - 1721 = 2165

MMMDCCCLXXXVI - MDCCXXI = MMCLXV



  • Leg in de eerste kolom het aftrektal en in de tweede kolom de aftrekker.

  • Neem nu, per lijn en per tussenruimte telkens uit beide kolommen één penning weg tot er zich geen meer bevinden in de tweede kolom.

  • Wat in de eerste kolom overblijft, is het verschil van beide getallen.

Voorbeeld 2


2124 - 1189 =

Na wegnemen vinden we: 2124 - 1189 = 1000 - 65

Na inwisselen vinden we:

Wat nu nog blijft liggen is het uiteindelijke resultaat, namelijk 935!


Hoe inwisselen?


  • Vervang één penning op een lijn door ofwel twee penningen in de onderliggende tussenruimte ofwel één penning in de onderliggende tussenruimte en vijf penningen op de onderliggende lijn.




  • Vervang één penning in een tussenruimte door vijf penningen op de onderliggende lijn.

Door inwisselen kunnen we ervoor zorgen dat er zowel op de lijnen als in de tussenruimten altijd voldoende penningen liggen.



De verdubbeling en halvering


Voor redenen die straks duidelijk worden stonden verdubbelen en halveren op het programma van de leerling-rekenmeester. Met het eerste had hij wellicht weinig last.

Voorbeeld : We verdubbelen 637.

ofwel leg je het getal tweemaal en herleid je:


ofwel ga je trapsgewijs tewerk. Hierbij start je best bovenaan. Ligt een penning in de tussenruimte, dan schuif je die naar de bovenliggende lijn. Liggen er één of meer penningen op een lijn, dan leggen we er evenveel naast en herleiden we de bekomen lijn.

2 x 637 = 637 + 637 = 1274

In de figuren proberen we door schrappen duidelijk te maken wat er gebeurt. Om het resultaat af te lezen moet je alleen rekening houden met de zwarte penningen die niet doorstreept zijn. Op een echte rekentafel is het aflezen natuurlijk veel makkelijker.

Bij halvering moeten we iets aandachtiger tewerk gaan. Om een overzicht te behouden maken we best gebruik van twee kolommen.



  • twee penningen op een lijn, worden vervangen door één penning op de zelfde lijn.

  • Één op een lijn, wordt vervangen door één penning in de onderliggende tussenruimte.

  • Eén penning in een tussenruimte, wordt vervangen door twee penningen op de onderliggende lijn en één penning in de onderliggende tussenruimte.



De vermenigvuldiging


Het basisidee om te vermenigvuldigen is als volgt: we leggen het vermenigvuldigtal zoveel keer als de vermenigvuldiger aangeeft en tellen de bekomen getallen op. Uiteraard stoten we hier al snel op materiële problemen. Hoeveel penningen hebben we niet nodig om 376 te vermenigvuldigen met 213 ? We kunnen toch niet 213 keer het getal 376 werpen ?

Hoe doen wij dat zelf ook alweer ?

376 x 213 = 376 x (200 + 10 + 3) = 376 x 2 x 100 + 376 x 10 + 376 x 3 = 80088

Ook op de abacus is vermenigvuldigen met 10 , 100 , 1000, eenvoudig: schuif het getal respectievelijk 1 , 2 , 3 lijnen hoger.


Voorbeeld 1


87 x 10 en 87 x 100

In het vervolg schrijven we de vermenigvuldiger links en het vermenigvuldigtal rechts.



Voorbeeld 2


20 x 87



Na herleiden vinden we:

Uiteraard voerden de rekenmeesters de vermenigvuldiging met 20 in één keer uit om vervolgens te herleiden.

Voorbeeld 3


23 x 87 = 20 x 87 + 3 x 87

Voorbeeld 4


213 x 376 = 200 x 376 + 10 x 376 + 3 x 376


Vermenigvuldigen lijkt wel het verschuiven en kopiëren van figuurtjes… zie je de letter F?


Maar wat als een penning van de vermenigvuldiger in een tussenruimte ligt ?

Voorbeeld 5


5 x 76 = 10 x 76 : 2 ! Vandaar het belang van de halveringstechniek !

Of eerst halveren en daarna x 10 !





Voorbeeld 6


65 x 76 = 76 : 2 x 100 + 76 x 10 + 76 : 2 x 10




Voorbeeld 7


268 x 376 = (200 + 50 + 10 + 5 + 3 ) x 376

= 376 x 100 x 2 + 376 : 2 x 100 + 376 x 10 + 376 : 2 x 10 + 376 x 3



Concentratie op de regels en zien van meetkundige patronen (hoofdletter F rechtop en op zijn kop) die de penningen vormen, leiden tot snelle mechanische bewerkingen. Voor ons is de verleiding om mee te rekenen uit het hoofd een rem op de snelheid.



De deling


Na de perikelen bij het vermenigvuldigen is het nu al duidelijk dat je voor de deling een rekenkunstenaar moet zijn om de bewerking vlot uit te voeren. Delen door 2 of halveren is een fluitje van een cent, maar de rest?

Delingen worden steeds tot aftrekkingen herleid.

Men werkt niet met decimale getallen; een rest wordt dus gewoon genegeerd.

Voorbeeld 1


18 : 3 =





  • We nemen éénmaal drie penningen weg en plaatsen het resultaat rechts.

  • We wisselen zodanig in, dat we telkens drie penningen op een zelfde niveau kunnen wegnemen.

  • Hier vervangen we 1 penning “10” door 2 penningen “5”.

  • In de tussenruimte “5” hebben we nu drie penningen. We kunnen hier dus éénmaal drie penningen wegnemen. Dit levert een antwoordpenning op niveau “5”.

Alle penningen zijn nu verwijderd. Het resultaat lezen we rechts af: 18 : 3 = 6 !



Voorbeeld 2


276 : 23 =




  • We stellen vast dat er bij de deler geen penningen in de tussenruimten liggen. We wisselen navenant in en vinden:

We lezen af: 276 : 23 = 10 + 2 = 12


Voorbeeld 3


2229 : 17 =

W
e gebruiken een “derde” kolom om het deeltal te herleggen en een deelresultaat te bekomen:

In de derde kolom doen we een aantal inwisseligen:


  • 1 vijfhonderdpenning wordt 5 honderdpenningen

  • 1 honderdpenning wordt 2 vijftigpenningen

  • 1 andere honderdpenning wordt 1 vijftigpenning en 5 tienpenningen

  • Het 17-beeld kan je nu driemaal aftrekken.

Besluit: 2229 : 17 = 131 (rest 2)


Voorbeeld 4


7836 : 256 =

  • Vervang de vijfduizendpenning door 5 duizendpenningen

  • Vervang één honderdpenning door 2 vijftigpenningen




  • Vervang één duizendpenning door 2 vijfhonderdpenningen

  • Vervang één honderdpenning door 2 vijftigpenningen


Besluit: 7836 : 256 = 30 (rest 156)




7Rekenen met geld


Dat het penningrekenen zo lang stand hield heeft vermoedelijk ook iets te maken met de manier waarop het geld geregeld was. We bekijken eerst met welk geld er betaald werd, en illustreren vervolgens met een eenvoudige optelling het gemak van het werpen met penningen.

Courant geld en rekengeld


De situatie in de 15de en 16de eeuw was op zijn zachtst gezegd ingewikkeld. Elk min of meer autonoom gezag sloeg zijn eigen munten. Staten en de meeste vrije steden hadden munten met benamingen en verwijzingen. In het gebied dat ongeveer overeenkomt met het huidige Zwitserland bleken 33 verschillende munten voor te komen. De schatbewaarder van een stad, de deken van een gilde, de abt van een abdij,…allen moesten boek houden van hun bezittingen. Ze lieten speciale rekentafels maken waarin die munteenheden gegraveerd werden die in hun regio gebruikelijk was. Ze zetten daarbij het courante geld dat circuleerde om in het zogenaamde rekengeld.

Courant geld


Onder courant geld verstaat men alle munten die gebruikt werden in de dagelijkse omgang. Afhankelijk van de handelsdrukte in een bepaalde regio of stad kon men, naast de eigen munten, een waaier aan betaalmiddelen aantreffen. De archieven van de stad Etat de Soleure, een vrije stad in Zwitserland in de 16de eeuw, vermelden meer dan 30 verschillende munten die regelmatig opdoken in allerlei handelstransacties. Ook in onze contreien doken rijke verzamelingen van munten op. In “Cornelis Graven krijgt een muntverzameling aangeboden (1590), een artikel van I.Geurts in Wiosello, het tijdschrift in van de heemkundige kring, vinden we een sterk staaltje terug dat we u niet willen onthouden.

Cornelis Graven had een half boender grond gekocht buiten de Hochter Poort. Zoals dat gebruikelijk was, hadden dichter bloedverwanten het recht om “binnen sjaers” de koop ongedaan te maken door hem over te nemen. In voorliggend geval doet Christiaen Meys dit, evenwel met een heuse muntenverzameling. Cornelis Graven is niet zinnens dit allegaartje aan te nemen. Hij wordt echter op 21 juli 1590 om zes uur ’s morgens voor de schepenbank gedaagd en wordt verplicht het geld te aanvaarden ook al bestaat het hele bedrag uit:

“…zess parugaelse crone drye metten lange en drye mette cortte crone
vijff fransche sonne crone, een keysers crone, ende een conicx crone,
zesthien spaensche pistoletten waeronder drye dobbelen, darthien italiaense pistoletten, eene dobbele gouden ryael en drye halve goude ryaelen, twee phls (philips) gulden, eenen gelderschen ryder, eene gouden keysers gulden, Item in gemeyn stuyvers tot eenentwintich gl. Bb. Item in Luycker stuyvers penn(ingen) doende tstuck waarvan vijff oort st tot vijffventwintich gl bb. Item in alde brabantsche stuyvers …”

De opsomming gaat nog een eindje door!!!

Op het einde van de syllabus staat het internetadres vermeld van het Nederlands Penningenkabinet waar je een overvloed aan ooit bestaand munten kunt vinden.

Rekengeld


De handelaars wisselden de verschillende soorten munten niet noodzakelijk in: ze gebruikten ze verder om zelf te betalen. Bij het “boekhouden” echter werden ze omgezet in een eenheidsmunt: het rekengeld. Het vermogen dat berekend werd in bijvoorbeeld ponden, bestond in werkelijkheid misschien wel voor een deel uit ponden, maar misschien ook nog uit dukaten en guldens enz …

Het rekenen met geld gebeurde met rekentafels. Toen het cijferen met Arabische cijfers al veel meer ingang gevonden had voor het gewone rekenwerk, bleef het penningrekenen voor geldzaken in gebruik. De voorbeelden verderop tonen dat, door het niet-decimale karakter van de munten, het cijferen ermee een te moeilijk karwei was.



Het pond en de florijn


In Europa werden hoofdzakelijk twee munteenheden gebruikt als rekengeld, nl. het pond en de florijn. Eer we boekhouder spelen is het best de verdeling van de hoofdmunten te bekijken.

Het pond


  • De oude Germanen “erfden” de naam voor hun eenheidsmunt waarschijnlijk van de Romeinse libra pundo. Zij maakten er pfund van, terwijl de Engelsen het hadden over pound.

  • Libra duikt dan weer op in de afkorting die men gebruikte: lib of lb..

  • De Franse benaming livre en het Italiaanse lire hebben dezelfde oorsprong.

  • Karel de Grote bepaalde dat een pond onderverdeeld diende te worden in 240 zilverlingen. Zilverling, of denarius in het Latijn, werd in de Germaanse wereld afgekort als d maar men sprak van een pfenning.

  • Tussen pond en zilverling gebruikte men een verdeling die sterk kon variëren per streek. Veelal was één stuiver (schilling of sous of sol, van het Latijnse solidus) twaalf zilverlingen waard, en je had er dus twintig nodig om een pond te vormen.
    In andere streken was één stuiver dertig zilverlingen, en zodoende vormden acht stuivers een pond.




1 pond

=

of

=



20 stuivers
8 stuivers

=

of

=



20 x12 zilverlingen
8 x 30 zilverlingen

lib of pf of lb




s




d

Het lijkt onwaarschijnlijk dat men met dergelijke niet-decimale verdelingen vlot kon werken, maar de voorbeelden die straks volgen maken duidelijk dat het dankzij de rekentafels nog best mee viel. Veel onbegrijpelijker is het dat men in Groot-Brittannië nog tot in 1971 eenzelfde ingewikkelde verdeling aanhield.

De florijn


  • De naam is vermoedelijk afkomstig van fiorino, de kleine bloem die voorkomt in het embleem van de stad Florence. Vanaf 1252 sloeg men er munten met een fiorino op.

  • Anderen vermoeden dat de naam rechtstreeks van de stadsnaam Florence stamt.

  • Later sloeg men ten noorden van de Alpen florijnen zonder bloem. Men noemde ze guldens, maar behield f als afkorting.

  • Die dubbele naam en afkorting was tot voor de invoering van de Euro nog in gebruik:
    25 Nederlandse gulden (f25) was in een Franse bank 25 florins.

  • De waarde en de onderverdeling van de gulden was minder stabiel. Zowel per regio als in de loop van de tijd ontstonden er verschillen.

  • Een gulden of florijn werd onderverdeeld in gros of schilling of stuivers. Die werden om hun beurt onderverdeeld in pfenning of duit of zilverling of…oort. De tabel toont een aantal mogelijkheden




1 gulden

of

florijn



=

of

=



of

=

of



=

12 stuivers
21 stuivers
7 stuivers
20 stuivers

=

of

=



of

=

of



=

12 x 12 duiten
21 x 12 duiten
7 x 30 duiten
x 4 oortjes

f of g




s of g




d

De 12 x 12 op de eerste regel van de tabel doet denken aan het bekende (ook voor de jongeren?) dozijn en gros.

Dat een “oortje” als munt voorkwam in onze contreien blijkt op een verrassende manier in de naam “Het laatste oortje” van sommige oude cafés of herbergen. Blijkbaar moest ook de kleinste en laatste munt er soms aan geloven.


8De stroken-abacus


De strokenabacus was een variant op de rekentafel. Meestal ging het over een doek of tapijt dat men kon ontrollen om mee te werken. Aangezien we hier alleen het principe van het rekenen met geld uit de doeken willen doen kiezen we voor wat volgt voor een eigen muntenreeks (historisch niet correct, maar wiskundig handig):


1 pond

=

20 stuivers

=

20 x12 duiten

lb




s




d

De strokenabacus of het rekentapijtt verschilt op twee manieren van de klassieke rekentafel:

  • De penningen worden enkel in stroken tussen verticale lijnen geworpen.

  • Daar waar in het hogere deel van de abacus (vanaf pond en hoger) het principe van “niet meer dan 4” gehuldigd wordt (2 of 5 penningen in een strook betekenen 1 penning in de hogere strook), wordt deze regelmaat in de stroken van stuivers en duiten doorbroken.

Door af te lezen en hier en daar iets te berekenen kan je het bedrag controleren dat op de abacus hierboven voorgesteld wordt:

2758 pond, 18 stuivers en 10 duiten

Wanneer je met Romeinse cijfers werkt, vervalt het rekenwerk: je moet maar aflezen.

mmdcclviij lb xviij s x d

Merk op:


Ook het terug leggen van een bedrag op de abacus verloopt hierdoor eenvoudig:

mmmdccclxviij lb xvij s xj d

betekent:

3 penningen in de strook van 1000 lb

1 500lb

3 100lb


1 50lb

1 10lb


1 5lb

3 1lb


1 10s

1 5s


2 1s

Alleen bij de duiten moet er “vertaald” worden:

xj wordt:

1 penning in de strook van 6d

5 1d

Ook al snapt men de principes goed, toch blijkt het heel moeilijk te zijn om in de oude archieven opzoekingen te doen. Om een idee te geven van de moeilijkheden tonen we hier het bedrag van 2 pond, 13 stuivers en 4 duiten zoals terug te vinden in de rekeningen van de stad Thoune in 1611:


In het gotisch schrift herken je wellicht de ringel-S als afkorting voor sous.


We bemerkten hiervoor al dat het principe “niet meer dan 4” bijna altijd gehuldigd wordt.“Niet meer dan 4” is, voor de mens, zonder tellen gemakkelijk te herkennen en daardoor ook makkelijker mechanisch te verwerken. Ook de Chinese abacus(nog altijd in gebruik op allerlei Oosterse markten) werkt met dit principe (zie website verder in de tekst). Dat dit principe bij het rekenen met geld doorbroken wordt, zorgt wellicht voor een moeilijkheid bij het gebruik van het rekentapijt, maar iemand die met de afwijkende verdelingen vertrouwd geraakt kan net zoals bij de gewone rekentafel op een heel concrete en bijna mechanische manier met geld rekenen.

Optellen


Het optellen gebeurt op dezelfde manier als bij de gewone rekentafel, alleen de herleiding in de onderste stroken wijkt er van af. Voor de duidelijkheid blijven we bij de voorbeelden naast de afkortingen ook vermelden wat de waarde van de stroken is.

Voorbeeld


2758 pond, 18 stuivers en 10 duiten + 78 pond, 19 stuivers en 3 duiten

De som in de laatste kolom is makkelijk te noteren in Romeinse cijfers:

mmdcccxxxvij lb xviij s jd

of in Arabische vorm (na wat hoofdrekenen): 2837 pond, 18 stuivers en 1 duiten

Laat ons deze optelling ook eens proberen al cijferend of met de pluim:

2758 pond, 8 sous en 10 schilling + 78 pond, 19 sous en 3 schilling




Dit voorbeeld maakt al duidelijk waarom de stroken-abacus zo lang gebruikt werd om met geld te rekenen. Zolang het geld niet decimaal onderverdeeld werd was het gewoon veel eenvoudiger dan het cijferen! Het heeft geduurd tot de Franse revolutie voor het eerste decimaal verdeelde geld ingevoerd werd.



Daarnaast blijkt de rekentafel ook nog heel flexibel in gebruik. Je kan er zonder problemen meerdere bedragen mee optellen (je bent alleen beperkt door het aantal penningen en de ruimte waarover je beschikt):schuif alle penningen per strook gewoon samen. Ook bij het herleiden ben je vrij: doe je het op het einde, of al eens tussendoor? Begin je van beneden naar boven, of omgekeerd of tussenin?

9En de negenproef?


…of een andere vorm van controle? Die bestond er gewoon in de bewerking meerdere keren en/of door verschillende personen te laten uitvoeren.

10Op het internet


  • Illustraties van de strijd tussen de penningen en de Indo-Arabische cijfers in oude boeken, schilderijen, wandtapijten:
    http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Boethius.html
    http://www.counton.org/museum/floor4/gallery11/gal11_p2.html
    http://www.mathnmaps.com/mathhist/paris/

  • Historische vogelvlucht:
    http://www.wcostasol.es/usr/chris/Rekenp.htm

  • In verband met het koppig Brits muntsysteem: 1 pond = 20 shilling = 240 pennies:

http://www.dicamillocompanion.com/British_Money.html
http://www.24carat.co.uk/britishcoinagesystem.html

  • Over de abacus:

http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/
http://www.tux.org/~bagleyd/java/AbacusAppJS.html

  • Marjolein Kool aan het woord op:

http://www.deschoolanno.nl/Artikelen/artjrg16_20/art170403.htm
Hier wordt verteld hoe enerzijds de ongeletterdheid van de mensen, en anderzijds de verwarring die het cijfer 0 veroorzaakte, er voor zorgde dat het rekenen met penningen nog lange tijd naast het cijferen bleef bestaan.


  • Over de veelheid van munten die in onze contreien bestonden:

http://www.penningkabinet.nl/index.html

  • Een Engelstalige site waar de bewerkingen heel mooi uitgelegd staan. De auteur bespreekt ook nog andere rekentechnieken (o.a. uit het oude Egypte)
    http://faculty.ed.umuc.edu/~swalsh/index.html

  • De Adam Ries rekenmeester heeft een grote faam in Duitsland . De uitdrukking “rehnen wie Ries” betekent zorgvuldig en correct rekenen in het Duits. Wanneer je in een zoekmachine op het internet pening of penningrekenen invult, kom je waarschijnlijk bij (een verwijzing naar) Ries terecht. Op de site van het museum en de penningenschool vind je alle informatie en kan je ook interactief met penningen schuiven:

http://www.adam-ries-bund.de

11Bibliografie


  • "Compter avec des cailloux" - Alain Schärlig - Presses Polytechniques et universitaires Romandes - 2001 - ISBN 2-88074

  • "Compter avec des jetons" - Alain Schärlig - Presses Polytechniques et universitaires Romandes - 2003 - ISBN 2-88074-542-X

  • “Die conste vanden getale” –Marjolein Kool - Verloren, Hilversum - 1999




Chris Standaert - Patrick Tydtgat Penningrekenen - -



  • 2N omenclatuur
  • 3Historische vogelvlucht.
  • 4Historische vermeldingen.
  • 5Romeinse cijfers versus Arabische cijfers.
  • 6Daar gaan we dan,...
  • D e abacus
  • De aftrekking
  • De verdubbeling en halvering
  • De vermenigvuldiging
  • V oorbeeld 1
  • Voorbeeld 3 2 3 x 87 = 20 x 87 + 3 x 87 Voorbeeld 4
  • Voorbeeld 6 65 x 76 = 76 : 2 x 100 + 76 x 10 + 76 : 2 x 10 Voorbeeld 7
  • 7Rekenen met geld
  • Courant geld en rekengeld
  • Het pond en de florijn
  • 8De stroken-abacus
  • 9En de negenproef
  • 11Bibliografie

  • Dovnload 117.02 Kb.