Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


Je ziet hier de grafiek van een functie. Schrijf voor deze functie op

Dovnload 325.54 Kb.

Je ziet hier de grafiek van een functie. Schrijf voor deze functie op



Pagina1/3
Datum04.04.2017
Grootte325.54 Kb.

Dovnload 325.54 Kb.
  1   2   3

  1. Je ziet hier de grafiek van een functie.
    Schrijf voor deze functie op http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg11-op1-c1.jpg

    1. op welke intervallen de grafiek dalend dan wel stijgend is en om welk soort stijging of daling het daarbij gaat;

    2. welke extremen er zijn;

    3. voor welke waarden van x de snelheid van dalen dan wel stijgen het grootst is.


ANS: T


  1. Gegeven is een functie met voorschrift f(x)=18x-x3.
    Schrijf op

    1. op welke intervallen de grafiek dalend dan wel stijgend is en om welk soort stijging of daling het daarbij gaat;

    2. welke extremen er zijn;

    3. voor welke waarden van x de snelheid van dalen dan wel stijgen het grootst is.

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f met voorschrift f(x)=0,5⋅x4-4⋅x2+8.

    1. Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van deze functie bekijken. Welke extremen heeft deze functie?

    2. Er is precies één interval waarop de grafiek toenemend daalt. Welk interval is dat?

    3. Als je van een functie de extremen weet kun je vaak het bereik van die functie afleiden. Welk bereik heeft deze functie dus (vermoedelijk)?

ANS: T

http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg11-op4-t1.jpg


  1. Je ziet hier de grafiek die hoort bij een parachutesprong vanaf 3500m hoogte. Eerst maakt hij een vrije val en daarna opent hij zijn parachute.

    1. Na hoeveel seconden heeft deze parachutist zijn valscherm geopend? Hoe zie je dat aan de grafiek?

    2. In de periode van vrije val is de grafiek toenemend dalend.Wat betekent dit voor de valsnelheid?

    3. Als de parachute uit is, is de valsnelheid constant. Hoe zie je dat aan de grafiek? Hoe groot is de valsnelheid als de parachute uit is?

ANS: T


  1. Voor de temperatuur T in °C op een bepaalde dag geldt:

    1. om 6:00 uur ’s morgens (t=6) bedroeg de temperatuur T=2°C;

    2. de grafiek toenemend stijgt vanaf t=6 tot aan t=12;

    3. de grafiek afnemend stijgt vanaf 12:00 uur tot 14:30 uur en dan toenemend daalt tot t=20;

    4. de grafiek afnemend daalt vanaf t=20 tot aan het eind van de dag.

    5. Maak een schets van een mogelijke grafiek van deze functie en leg uit bij welke waarde van t de functie T een uiterste waarde moet hebben.

ANS: T




  1. Je ziet hier de grafiek van de lengte van een man vanaf zijn twaalfde levensjaar tot zijn huidige leeftijd.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg11-os1-t1.jpg


    1. Gedurende welk levensjaar groeit hij het snelst? Hoeveel cm groeide hij dat jaar?

    2. Gedurende welke periode is de grafiek stijgend?

    3. Gedurende welke periode is er sprake van een afnemende stijging?

    4. Gedurende welke periode is zijn lengte constant?

    5. Gedurende welke perioden is de groeisnelheid constant? Hoe zie je dat aan de grafiek?

ANS: T

http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg11-os2-c1.jpg


  1. Je ziet hier de grafiek van de functie
    f(x)=-0,5x4+4x2
    op het interval [-4,4].

    1. Op welke intervallen is de grafiek dalend?

    2. Op welk interval is er sprake van een afnemende daling? Hoe zie je dat aan de grafiek?

    3. Schrijf alle extremen op van deze functie.

ANS: T

  1. Dit is een deel van de grafiek van een functie.
    Teken bij deze grafiek een toenamediagram met stapgrootte 1, te beginnen bij x=-2.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg12-op1-c1.jpg



ANS: T

  1. Gegeven is de functie f met voorschrift f(x)=0,5⋅x4-4x2+8.

    1. Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van deze functie bekijken en een toenametabel maken. Teken een toenamediagram op het interval [-3,3] met een stapgrootte van 0,5.

    2. Er is precies één interval waarop de grafiek toenemend daalt. Welk interval is dat? En hoe zie je dat aan het toenamediagram?

    3. Waarom kun je op grond van het toenamediagram concluderen dat er waarschijnlijk drie extremen zijn?

ANS: T




  1. In een pretpark is vanaf de opening om 8:00 uur ’s morgens tot de sluitingstijd om 18:00 uur elk uur het aantal ingaande en uitgaande bezoekers geteld. Het verschil van beide is de toename (of afname) van het aantal bezoekers. Hier zie je deze toename weergegeven.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg12-op4-t1.jpg


    1. Maak nu een grafiek van het totaal aantal bezoekers afhankelijk van het uur van deze dag, vanaf 8:00 uur tot en met 18:00 uur.

    2. Rond welk tijdstip waren er waarschijnlijk de meeste bezoekers in het pretpark?

    3. Kun je vaststellen hoeveel bezoekers er maximaal in het park waren op enig moment die dag?
      Licht je antwoord toe.

ANS: T

  1. Biologen houden het verloop van de aantallen van een bepaald soort vlinder in een afgesloten natuurgebied bij. Deze tabel geeft de verzamelde informatie weer.

Jaartal

2000

2001

2002

2003

2004

Aantal vlinders

2450

2050

1850

1665

1580

Verschil t.o.v. voorgaande jaar




–400

–240

–145

–85

ANS: T
  1. Het lijkt erop dat het verschil V t.o.v. het voorgaande jaar exponentieel verandert met de tijd t in jaren. Er lijkt te gelden V=-400⋅0,6t-1 met t=0 in het jaar 2000.



    1. Ga na of deze formule in overeenstemming is met de gevonden verschillen.

    2. Ga er van uit dat deze formule geldig blijft in de jaren na 2004. Teken een toenamediagram van het aantal vlinders in dit natuurgebied met een stapgrootte van 1 jaar.

    3. Maak ook een grafiek van het aantal vlinders N in de loop van de jaren.

    4. Van wat voor soort daling is er sprake bij het aantal vlinders? Hoe kun je dat aan het toenamediagram zien?

    5. Het aantal vlinders van deze soort lijkt zich in dit natuurgebied te stabiliseren. Hoe kun je dat aan het toenamediagram zien? En wat betekent dit voor de grafiek van het aantal vlinders?

ANS: T

  1. Je ziet hier de grafiek van de lengte van een man vanaf zijn twaalfde levensjaar tot zijn huidige leeftijd. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg12-os1-t1.jpg

    1. Maak bij deze grafiek een toenamediagram met een stapgrootte van 1 jaar.

    2. Hoe kun je aan het toenamediagram zien dat de grafiek nooit dalend is?

    3. Waarom mag je op grond van het toenamediagram alleen nooit de conclusie trekken dat de grafiek nooit dalend is?

    4. Gedurende welke periode is zijn lengte constant? Hoe zie je dat aan het toenamediagram?

    5. Gedurende welke perioden is de groeisnelheid constant? Hoe zie je dat aan het toenamediagram?

ANS: T



  1. Bekijk met je grafische rekenmachine de grafiek van de functie
    f(x)=-0,5⋅x4+4⋅x2 op het interval [-4,4].

    1. Teken een toenamediagram met een stapgrootte van 0,5.

    2. Opwelk interval is er sprake van een afnemende daling? Hoe zie je dat aan het toenamediagram?

    3. Hoe kun je in het toenamediagram de plaats van de extremen van de functie terugvinden?

ANS: T


  1. De Amerikaanse dollar stond dinsdag op een koers van € 1,220. De figuur heeft betrekking op dezelfde week van zondag tot en met vrijdag. In de figuur zie je de toename of afname van de koers per dag in tienden van centen nauwkeurig.

    Teken een grafiek waarin de koers van de dollar in de loop van die week zichtbaar is. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg12-os3-t1.jpg



ANS: T

  1. Je ziet hier een aantal punten op een grafiek.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg13-op1-t1.jpg


    1. Bereken de gemiddelde helling van de koorde AB.

    2. Bereken de gemiddelde helling van de koorde CF.

    3. Bij twee van de getekende punten hoort een
      differentiequotiënt van 0.
      Welke twee punten zijn dat? (Er zijn twee mogelijkheden!).

    4. Punt F heeft een kleinere y-waarde dan punt C. Hoe kun je dat aan het differentiequotiënt op het interval [1,4] zien?

ANS: T


  1. Gegeven is deze grafiek.
    Bereken het differentiequotiënt op het interval [1,3].

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg13-op2-c1.jpg



ANS: T

  1. Gegeven de functie f(x)=x3-3x2+6 met domein [2,4].

    1. Bereken het differentiequotiënt op het interval [0,2].

    2. Bereken het differentiequotiënt op het interval [-1,2].

    3. Wat valt je bij b op? Kun je dat verklaren?

    4. Noem een interval waarop de grafiek van f stijgend is. En bereken op dat interval het differentiequotiënt.

ANS: T




  1. Het afkoelen van een kopje koffie hangt af van de temperatuur van de koffie bij het inschenken en de kamertemperatuur. Ook de vorm en het materiaal waarvan het kopje is gemaakt heeft invloed. De formule T(t)=20+70⋅0,82t geeft de temperatuur van de koffie.

    1. Wat is de temperatuur van de koffie bij het inschenken?

    2. Hoeveel graden daalt de temperatuur van de koffie gemiddeld in de eerste vijf minuten?

    3. Bereken ook in één decimaal nauwkeurig hoeveel de temperatuur gemiddeld daalt in de volgende vijf minuten.

    4. De temperatuur van de koffie daalt van t=0 tot t=5 sneller dan van t=5 tot t=10. Leg uit hoe je dit aan de differentiequotiënten bij b en c kunt zien. Geef er ook een natuurkundige verklaring voor.

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=3x2.
    Toon aan dat het differentiequotiënt op elk interval [a,a+1] gelijk is aan 6⋅a+3.

ANS: T

  1. Bij een wielrenner in een tijdrit worden op bepaalde plaatsen tussentijden genoteerd. Die vind je in de tabel.

    tijd t (min)

    0

    10

    18

    34

    44

    60

    78

    94

    afstand a (km)

    0

    8

    12

    18

    23

    29

    37

    45

    1. Bereken het differentiequotiënt op het tijdsinterval [0;10].

    2. Welke betekenis heeft dit getal voor de wielrenner?

      1. Het is de afgelegde afstand in die periode.

      2. Het is de snelheid gedurende die periode.

      3. Het is de gemiddelde snelheid gedurende die periode.

    3. Je maakt bij deze tabel een grafiek door de punten met lijnstukken te verbinden. Op de horizontale as komt de tijd t in minuten, op de verticale as de afgelegde afstand a in km. Bereken het hellingsgetal van het lijnstuk dat hoort bij het interval [44,60].

    4. Bereken voor het tijdsinterval [18,44] de waarde ΔaΔt in twee decimalen nauwkeurig.

    5. Welke betekenis hebben de bij c en d gevonden getallen voor de grafiek? (Geef alle goede antwoorden.)

      1. Ze geven de helling weer van het lijnstuk door de punten op de grafiek bij het begin en het eind van het tijdsinterval.

      2. Ze geven de totale toename van de afstand weer op het tijdsinterval.

      3. Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval.

ANS: T

  1. Gegeven de functie f(x)=0,5x4.
    Bereken het differentiequotiënt op het interval [0,2].

ANS: T

  1. Gegeven de functie f(x)=0,5x2.
    Bereken het differentiequotiënt op het interval [p,2p] (met p≠0).


ANS: T

  1. Een steen valt van een loodrechte rotswand 500m naar beneden. Voor de afgelegde weg y (in m) geldt de formule y(t)=4,9t2 waarin t de tijd in seconden is, tenminste zolang de steen nog aan het vallen is en niet op de grond terecht is gekomen.

    1. Bereken de gemiddelde snelheid van de steen gedurende de eerste 5 seconden.

    2. Bereken de snelheid van de steen na precies 5 seconden. (Gebruik een rij van differentiequotiënten en controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.)

    3. Bereken de snelheid waarmee de steen op de grond terecht komt.

ANS: T




  1. Bekijk de grafiek van de functie f(x)=5x2-x3 op je grafische rekenmachine.

    1. Bereken het hellingsgetal voor x=2 met behulp van een rij differentiequotiënten.

    2. Je kunt van tevoren aan de grafiek zien of het hellingsgetal positief of negatief is. Waaraan kun je dat zien?

    3. Stel een vergelijking op van de raaklijn voor x=2 aan
      de grafiek van f.

ANS: T



  1. Gegeven op het interval [-5,5] de functie met voorschrift g(x)=4x.

    1. Bereken de veranderingssnelheid van g(x) voor x=1.

    2. Er is een punt van de grafiek van g waar de helling dezelfde waarde heeft als die in (1,4). Welk punt is dat? Licht je antwoord toe.

    3. Voor x=0 heeft de functie g geen functiewaarde. Wat betekent dit voor de helling? En wat is er met de grafiek aan de hand?

ANS: T



  1. De concentratie C van een bepaalde stof die is opgelost in water, neemt met de tijd af volgens de formule C(t)=10⋅0,9t. Hierin is C in g/L (gram per liter) en t in uren.

    1. Er verdwijnt niet elk uur een even grote hoeveelheid van deze stof uit het water. Hoe komt dat?

    2. Hoeveel gram van deze stof verdwijnt er gemiddeld in de eerste 5 uren? (Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.)

    3. De vervalsnelheid van deze stof op t=5 is niet gelijk aan de hoeveelheid die er tot dan toe gemiddeld per uur is verdwenen. Bereken deze vervalsnelheid in twee decimalen nauwkeurig.

ANS: T


http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg14-op5-t1.jpg


  1. Hier zie je een grafiek van de lengtegroei van een boom in de loop van de jaren.

    1. Hoeveel meter per jaar groeit deze boom gemiddeld, gerekend over de eerste 5 jaar?

    2. Hoeveel bedraagt de groeisnelheid na precies 5 jaar? Geef een zo nauwkeurig mogelijke schatting.

    3. Op welk tijdstip is de groeisnelheid het grootst? Licht je antwoord toe.

    4. Welke waarde krijgt de groeisnelheid uiteindelijk zolang de boom gezond blijft?

ANS: T




  1. De baan van een vuurpijl is bij benadering parabolisch tot hij uit elkaar spat. Hier zie je een mogelijke baan. Bij deze baan past de formule
    h(x)=-x2+10x waarin zowel h als x in meters worden uitgedrukt.

    1. Welke helling heeft de baan als de vuurpijl wordt afgeschoten?

    2. Vanuit het bij a gevonden hellingsgetal kun je de hoek berekenen waaronder de vuurpijl is afgeschoten. Je moet dan werken met goniometrie. Bereken die hoek α in graden nauwkeurig.

    3. In welk punt van de baan is de helling 0?

    4. Als de pijl horizontaal 8 meter heeft afgelegd, spat hij uiteen. Hoe hoog zit hij dan en welke helling heeft zijn baan?

ANS: T



  1. Een hoeveelheid H (in kilogram) groeit exponentieel volgens de formule H(t)=2500⋅1,2t met t in dagen.

    1. Bereken de gemiddelde toename van deze hoeveelheid op het interval [0,4].

    2. Bereken de toenamesnelheid van deze hoeveelheid op t=4 met behulp van een rij van differentiequotiënten. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

    3. Deze toenamesnelheid op t=4 kun je in de grafiek aangeven. Leg uit hoe dat gaat.

      1. Eerst een raaklijn tekenen aan de grafiek in het punt met t=4. Vervolgens de richtingscoëfficiënt van die raaklijn aangeven in de figuur.

      2. Een rechte lijn tekenen tussen (0,2500) en (4,5184). Vervolgens het hellingsgetal van die lijn berekenen.

      3. Een koorde tekenen tussen (4,5184) en (5,6221). Vervolgens het hellingsgetal van die lijn berekenen.

ANS: T


  1. Bekijk de grafiek van de functie f(x)=4-x met x≥0.

    1. Het differentiaalquotiënt voor elke positieve waarde van x is

      1. ook positief;

      2. negatief;

      3. dalend.

    2. Bereken f'(4) met behulp van een rij differentiequotiënten. Controleer daarna je antwoord met van de grafische rekenmachine.

    3. Je kunt het differentiaalquotiënt f'(4) ook schatten met behulp van de grafiek van f . Dat doe je door (geef alle goede mogelijkheden):

      1. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor x=4 te schatten door twee punten op die raaklijn af te lezen.

      2. Twee punten op de grafiek te bepalen die dicht bij elkaar te liggen en het bijbehorende differentiequotiënt te berekenen.

      3. De grafische rekenmachine het hellingsgetal dydx laten berekenen voor x=4.

ANS: T




  1. Hier zie je een grafiek (rood) en twee hellingsgrafieken (groen en blauw gestippeld).
    Welke hellingsgrafiek hoort bij de gegeven grafiek?

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg15-op1-c1.jpg



ANS: T

  1. Kies telkens één van deze vier functies:

    1. f(x)=-x2+4

    2. g(x)=x2+3

    3. h(x)=4x

    4. k(x)=-x4+4x

    5. Bereken bij de gekozen functie het hellingsgetal voor x=1.

    6. Teken bij de gekozen functie de grafiek van de hellingsfunctie.

    7. Bepaal met behulp van de hellingsgrafiek de extremen van de gekozen functie.

ANS: T



  1. Je ziet hier de hellingsgrafiek van een functie f. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg15-op3-c1.jpg

    1. Op welk interval stijgt de grafiek van f?

    2. Voor welke waarden van x heeft de grafiek van f een maximum?

    3. Kun je uit de hellingsgrafiek aflezen hoe groot dit maximum is?

    4. Neem aan dat f(0)=2. Teken nu de grafiek van f.

ANS: T



  1. Je ziet hier het tekenschema van de hellingsfunctie van een functie g.
    Schets een mogelijke grafiek van g.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg15-op4-t1.jpg


ANS: T

  1. Een auto trekt op als het stoplicht op groen springt. Voor de afgelegde weg geldt: s(t)=1,6t2 waarin s de afgelegde weg in meters is en t de tijd in seconden is. Ga er vanuit dat deze auto niet hoeft te schakelen!

    1. De snelheid van deze auto wordt uitgedrukt in meters per seconde. Teken de grafiek van de snelheid v van deze auto als functie van de tijd t.

    2. Als het goed is gegaan is je snelheidsgrafiek een rechte lijn. Stel een bijpassende formule op voor v(t).

    3. Na hoeveel seconden is de snelheid meer dan 80 km//h? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.


ANS: T

  1. Gegeven is de functie f(x)=2x3-6x2-8x.

    1. Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van f zo in beeld brengen dat alle drie de nulpunten en de twee toppen zichtbaar zijn. Toon aan dat deze grafiek de x-as snijdt in het punt (4,0).

    2. Bereken het hellingsgetal van de grafiek in dit nulpunt.

    3. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x=4

    4. Teken de grafiek van de afgeleide van f.

    5. Met behulp van de grafiek van die afgeleide kun je de extremen van f berekenen. Doe dat met behulp van je grafische rekenmachine in twee decimalen nauwkeurig.

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=0,5x2+3x.

    1. Stel een voorschrift op voor de hellingsfunctie f'(x) door eerst een tabel van f' te maken.

    2. Laat zien hoe je dit voorschrift ook kunt afleiden door het differentiequotiënt op [x,x+h] te herschrijven.

ANS: T

  1. Gegeven de functie f(x)=x2-4x.
    Maak een grafiek van de bijbehorende hellingsfunctie.


ANS: T

  1. Hier zie je een hellingsgrafiek van een functie g. De grafiek van deze functie gaat door (2,4).
    Teken een mogelijke grafiek van g.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg15-os2-c1.jpg



ANS: T

  1. Dit is een tekenschema van de hellingsfunctie van een functie f.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg15-os3-t1.jpg

    1. Voor welke waarde van x heeft deze functie een maximum?

    2. Op welk interval is de grafiek van deze functie dalend?

    3. Maak een schets van een mogelijke grafiek van f die door (0,1) gaat.

ANS: T




  1. Laat zien met behulp van het differentiequotiënt op [x,x+h] dat f'(x)=8x de afgeleide is van f(x)=4x2+1.


ANS: T

  1. Je ziet hier een grafiek van de functie f(x)=x3-3x2-9x. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg16-os1-c1.jpg

    1. Van welke soort daling is er sprake op het interval [0;1]?

    2. Bereken het differentiequotiënt op dit interval en beschrijf de betekenis van dit getal.

    3. Is de grafiek voor x=1 stijgend of dalend?

    4. De helling van de grafiek voor x=1 is het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek in het bijbehorende punt. Bereken met behulp van een rij van differentiequotiënten dit hellingsgetal. Stel ook een vergelijking van de raaklijn op.

    5. Teken met behulp van je grafische rekenmachine een (benadering van de) hellingsgrafiek van de gegeven functie.

    6. Uit de hellingsgrafiek kun je de x-waarden van de extremen van de gegeven functie halen. Leg uit hoe en bereken de extremen van f.

ANS: T


  1. De hoogte van een vuurpijl die je van de grond afschiet wordt gegeven door h(t)=60t-5t2 waarin h de hoogte boven de begane grond in meter en t de tijd in seconden is na het afschieten.

    1. Na 10 seconden ontploft de vuurpijl. Hoe hoog is dat?

    2. Teken een bijpassend toenamediagram met stapgrootte 1.

    3. Uit het toenamediagram kun je aflezen op welk tijdstip de vuurpijl het hoogste punt in zijn baan bereikt. Leg uit hoe en bepaal de maximale hoogte van de vuurpijl.

    4. Bereken de gemiddelde snelheid van de vuurpijl over de eerste zes seconden.

    5. De snelheid van de vuurpijl neemt voortdurend af tot hij zijn hoogste punt heeft bereikt. Daar is de snelheid 0 m/s. Daarna neemt zijn snelheid weer toe. Bereken zijn snelheid op het moment van ontploffen

    6. De snelheid is afhankelijk van t. Maak met behulp van je grafische rekenmachine een grafiek van die snelheid.

    7. Als het goed is wordt je snelheidsgrafiek een rechte lijn. Stel bij die rechte snelheidsgrafiek een formule op. Bereken met die formule de snelheid op het moment van ontploffen.

    8. Welke formule geldt voor de snelheid van de vuurpijl?

ANS: T



  1. Het migratiesaldo van de grote stad R geeft het verschil tussen het aantal mensen dat in R komt wonen en het aantal mensen dat uit R vertrekt. Het geboorteoverschot is het verschil van het aantal geboorten en het aantal overledenen in R. In deze grafiek zie je beide voor de jaren 2000 tot en met 2004. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg16-os3-v1.jpg

    1. Met hoeveel mensen is het aantal inwoners in R in het jaar 2000 toegenomen?

    2. In welk jaar is het aantal inwoners in deze stad afgenomen?

    3. Het aantal inwoners van R bedroeg aan het begin van het jaar 2000 ongeveer 72600 (op honderdtallen afgerond). Teken een grafiek van het aantal inwoners in R in de jaren 2000 tot en met 2004.

    4. Hoeveel was het aantal inwoners op 1 januari 2005?

ANS: T


  1. Een boer verbouwt suikerbieten op een bepaalde lap grond. Voor het onkruid wieden heeft hij personeel in dienst. De opbrengst bij de verkoop van de suikerbieten neemt toe als er beter wordt gewied, dus als hij meer werknemers in dienst neemt. Maar dat gaat niet onbeperkt: op zeker moment lopen de bietenwieders elkaar voor de voeten en wordt het wieden er niet beter van.

    Een mogelijk verband tussen de opbrengst R (in honderden euro) en het aantal werknemers w wordt gegeven door de formule R=-13w3+6w2.

    Voor de boer is het interessant om te weten hoeveel werknemers hij het beste kan inhuren. Daarbij kijkt hij naar de meeropbrengst van een werknemer. Zo is de meeropbrengst van de derde werknemer R(3)-R(2). De meeropbrengst per werknemer heet in economentaal ook wel marginale opbrengst. De boer zorgt er voor dat hij zoveel werknemers in dienst neemt dat de marginale opbrengst van de laatste werknemer zo groot mogelijk is.


    1. Hoeveel bedraagt de marginale opbrengst (de meeropbrengst) van de derde werknemer?

    2. Je kunt met je grafische rekenmachine een tabel maken van de meeropbrengsten van elk van de eerste 10 werknemers. Maak die tabel en beslis op grond daarvan hoeveel werknemers de boer in dienst zal nemen voor het bieten wieden.

    3. De boer kiest voor zoveel werknemers, dat de meeropbrengst van de laatste werknemer zo groot mogelijk is. Waarom doet hij dat? Waarom kiest hij niet voor het aantal werknemers waarbij de opbrengst zo groot mogelijk is?

ANS: T




  1. Door het KNMI worden de tijdstippen van zonsopkomst en zonsondergang gedurende het jaar bijgehouden. Via internet kun je actuele informatie over dit onderwerp vinden. Hier zie je een tabel en een grafiek voor Amsterdam in een bepaald jaar gemaakt in MS-Excel.

    Je ziet dat de tijdstippen van zonsopkomst en zonsondergang in de loop van het jaar veranderen. Bovendien is de snelheid waarmee die veranderingen plaatsvinden ook veranderlijk. In de tweede helft van de maand juni bijvoorbeeld verandert het tijdstip van zonsondergang maar weinig per dag. Maar in september is die verandering per dag juist behoorlijk groot. Ook de daglengte (verschil tussen zonsopkomst en zonsondergang) verandert in de loop van het jaar. En ook die verandering gaat soms sneller en soms minder snel...

    Een goede manier om de veranderingen nauwkeurig te bekijken is een toenamediagram bijvoorbeeld per maand. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg16-oa1-v1.jpg


    1. Het tijdstip van zonsopkomst verandert per dag. In welke maanden verandert het tijdstip van zonsopkomst het snelst per dag? Hoe zie je dat aan de grafiek?

    2. Ook het tijdstip van zonsondergang verandert per dag. Verandert het tijdstip van zonsondergang het snelst per dag in dezelfde maanden als dat van zonsopkomst? Kun je dit verklaren?

    3. De daglengte-grafiek is af te leiden uit die van zonsopkomst en zonsondergang. Hoe?

    4. In welke periode van het jaar wordt de daglengte in toenemende mate minder?

    5. Teken zelf in Excel een grafiek en een toenamediagram van de daglengte in de loop van het jaar. Neem de gegevens over. Neem voor het toenamediagram een stapgrootte van 1 maand.

    6. De daglengte verandert dagelijks. In welke maanden verandert de daglengte het snelst? Hoe zie je dat aan de grafiek en hoe aan het toenamediagram?

    7. In bepaalde maanden lijkt de daglengtewel vrijwel constant. Inwelke maanden is dat het geval? En hoe zie je dat aan het toenamediagram?

    8. In welke periode van het jaar wordt de daglengte in toenemende mate minder? Hoe zie je dat aan het toenamediagram?

ANS: T



  1. Voor de snelheid v in m/s van een bewegend voorwerp geldt: v=2,4t waarin t de tijd in seconden is.

    1. De grafiek van v is de hellingsgrafiek van de grafiek van de afgelegde weg s(t) waarin s in meters is uitgedrukt. Neem aan, dat s(0)=0. Maak een zo nauwkeurig mogelijke grafiek van s(t).

    2. Bij de grafiek van v(t) hoort ook een hellingsgrafiek. Teken die hellingsgrafiek.

    3. Wat stelt de hellingsgrafiek van v(t) voor?

    4. Voor de afgelegde weg geldt de formule s(t)=1,2t2
      Laat met behulp van het differentiequotiënt op het interval [t,t+h] zien, dat de gegeven functie v inderdaad de hellingsfunctie van s is.

ANS: T




  1. Gegeven is de functie f(x)=0,25x4.
    Je kunt het differentiaalquotiënt voor x=2 exact berekenen met behulp van het differentiequotiënt op het interval [2,2+h].
    Bereken dit differentiaalquotiënt.

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=x3.
    Toon aan dat f'(x)=3x2 met behulp van het differentiequotiënt op het interval [x,x+h].

ANS: T



  1. In een viskwekerij wordt vis uitgezet in een aantal nieuw aangelegde kweekvijvers. Als er geen vis wordt gevangen zal de visstand zich in de loop der jaren uitbreiden. De grafiek geeft een model van de groei van de visstand. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-cg16-ox1-t1.jpg

    1. Teken het toenamediagram voor intervallen van een jaar, te beginnen met het interval [1;2].

    2. De viskweker zal een aantal jaren afwachten alvorens te oogsten. Daarna wil hij jaarlijks dezelfde hoeveelheid vis vangen, liefst zoveel mogelijk. Het oogsten vindt steeds plaats aan het eind van het jaar. Na elke vangst breidt de visstand zich weer uit volgens de grafiek.
      Welk advies zou je de viskweker geven over:

      1. het aantal jaren dat hij na het uitzetten van de vis moet wachten;

      2. de grootte van de jaarlijkse vangst?

      3. Geef bij dit advies een toelichting waarmee je de viskweker denkt te overtuigen.

ANS: T



  1. Gegeven is de functie f(x)=x2+4x. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb11-op1-c1.jpg

    1. Bereken het hellingsgetal van de grafiek van f voor x=1 met behulp van het differentiequotiënt op het interval [1,1+h]. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

    2. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van f.

    3. Met behulp van f'(x) kun je nogmaals de hellingwaarde voor x=1 berekenen. Doe dat en ga na dat je dezelfde uitkomst krijgt dan bij a.

    4. De grafiek van f' heeft een nulpunt. Welke betekenis heeft dit punt voor de grafiek van f?

    5. Bereken de hellingwaarde van de grafiek van f in zijn nulpunten.

    6. De grafiek van f heeft precies één punt waarop de helling 2 is. Bereken de coördinaten van dit punt.

ANS: T




  1. Voor een lichaam in vrije val (bijvoorbeeld een parachutespringer voordat hij zijn valscherm opent) geldt bij benadering s(t)=0,5gt2 waarin s de afgelegde afstand in m na t seconden is. g is een constante, de gravitatieconstante van ongeveer 9,8 m/s2.

    1. Hoeveel bedraagt de gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden vrije val?

    2. De snelheid na 10 seconden vrije val is groter dan de gemiddelde snelheid over de eerste 10 seconden. Laat dit door middel van een berekening zien.

    3. Stel een formule op voor de snelheid als functie van t.

    4. Na hoeveel seconden vrije val beweegt het lichaam met een snelheid van 120 km/h?

ANS: T



  1. Een constante functie heeft als voorschrift f(x)=c.
    Toon aan dat de afgeleide van een constante functie altijd de waarde 0 heeft.

ANS: T

  1. Een bepaalde autofabrikant maakt als enige een kleine stadsauto. Voor de totale opbrengst van de verkoop van die auto’s geldt: TO=900q-60q2 waarin TO wordt uitgedrukt in duizendtallen en q de geplande productieomvang in honderdtallen per jaar voorstelt. Er wordt van uit gegaan dat alle geproduceerde auto’s ook worden verkocht. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/smart.jpg

    1. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van deze opbrengstfunctie.

    2. Welke betekenis heeft TO'(5) voor de opbrengstfunctie?

    3. De autofabrikant wil onderzoeken hoe groot zijn productieomvang moet zijn om een maximale opbrengst te krijgen. Bereken deze productieomvang met behulp van de afgeleide. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

ANS: T



  1. De hoeveelheid van een bepaalde giftige stof in het water van een meertje wordt op minder: de stof breekt op natuurlijke wijze af. Voor die hoeveelheid geldt H(t)=20⋅0,8t waarin H de hoeveelheid in milligram per liter is en t de tijd (in dagen) is, die is verstreken sinds de stof in het water terecht kwam.

    1. Hoeveel gram per liter is er gemiddeld in de eerste vier dagen verdwenen?

    2. De afbreeksnelheid van deze giftige stof is op t=0 hoger dan op t=4. Bepaal beide afbreeksnelheden met je grafische rekenmachine en leg uit waarom ze verschillen.

    3. Je zou de afbreeksnelheid ook moeten kunnen berekenen met behulp van een differentiequotiënt. Daarbij doet zich echter een probleem voor. Welk?

ANS: T


  1. Hier zie je grafiek van de functie f(x)=1,5x2+4 op het interval [-2,4]. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb11-os1-c1.jpg

    1. Bereken de gemiddelde verandering van f(x) op dit interval.

    2. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide f'(x).

    3. Bereken de veranderingssnelheid van f(x) voor x=2.

    4. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x=2.

ANS: T



  1. De kosten K (in euro) voor de productie van q liter van een bepaalde chemische stof bedragen K(q)=0,1q2+0,7q+12.

    1. Met behulp van het differentiequotiënt over het interval [q,q+h] kun je een formule opstellen voor K'(q). Stel die formule op, laat duidelijk zien hoe je te werk gaat.

    2. Hoe kun je aan de gevonden afgeleide zien, dat de kosten blijven stijgen bij toenemende q?

ANS: T




  1. Bepaal telkens de afgeleide van de gegeven functie. Bepaal ook het hellingsgetal van de grafiek in (1,y).

    1. f(x)=x3-4x

    2. g(x)=x4+2x3-5x2+12x-35

    3. s(t)=60t-4,9t2

    4. H(t)=2(t2-4)

    5. y=5-(x-3)2

    6. P(x)=ax3+bx2+cx+d

    7. TW(q)=0,5q3-6q2-25q+112

    8. K(x)=(3x2-2a)(ax-1)

ANS: T

  1. Bepaal van elk van de volgende functies de afgeleide. Bereken vervolgens de punten van de grafiek waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn de waarde 0 heeft. (Eventuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)

    1. f(x)=0,5x4-4x2

    2. TW(q)=-q3+3q2+3q+6

    3. v(t)=t(t-1)2

    4. TW=40p-0,02p2

ANS: T



  1. Je ziet hier de grafiek van de functie f(x)=(x2-4)(x2-9). http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb12-op3-c1.jpg

    1. Laat zien hoe je uit het functievoorschrift de nulpunten van de grafiek van f kunt afleiden.

    2. Bepaal de afgeleide van f.

    3. Bereken het snijpunt van de raaklijnen aan de grafiek van f voor x=-2 en voor x=2.

    4. Los op: f'(x)=0.

    5. Wat betekent het antwoord van d voor de grafiek van f?

ANS: T



  1. Als een voorwerp wordt afgeschoten met een bepaalde beginsnelheid en onder een bepaalde hoek, dan is zijn baan parabolisch als je geen rekening hoeft te houden met de luchtweerstand. Een voorbeeld van zo’n kogelbaan is de grafiek van de functie h(x)=1,5-0,01(x-10)2. Hierin is h de hoogte van het afgeschoten voorwerp boven de grond (in m) en x de afstand over de grond tot recht onder het afgeschoten voorwerp (in m).

    1. Op welke hoogte werd het voorwerp afgeschoten?

    2. Bereken h'(0).

    3. Wat betekent dit getal voor de kogelbaan?

    4. Bereken het punt van de kogelbaan waarin h(x)=0.

    5. In het hoogste punt van de kogelbaan is de afgeleide nul. Toch beweegt de kogel daar met een zekere snelheid. Kun je dit verklaren?

ANS: T



  1. Voor de productiekosten van een bepaald artikel geldt: TK=1200+0,2q2. Hierin is q het aantal geproduceerde eenheden van dat artikel en stelt TK de totale kosten in euro voor. De productiekosten per eenheid worden gegeven door GTK=TKq. Je noemt dit wel de gemiddelde totale kosten.

    1. Druk de gemiddelde totale kosten uit in q.

    2. Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van GTK bekijken. Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van GTK? Welke economische betekenis heeft deze asymptoot?

    3. Je kunt bij deze functie (nog) geen afgeleide bepalen. Maar je kunt er wel een (benadering van de) hellingsgrafiek bij tekenen met je grafische rekenmachine. Teken die hellingsgrafiek en bepaal met behulp daarvan bij welke productie de gemiddelde totale kosten zo laag mogelijk zijn.

    4. Welke waarde benadert de helling van de grafiek van GTK als de productie heel erg groot is? En welke betekenis heeft dat voor de productiekosten per eenheid?

ANS: T


  1. Bepaal bij elk van deze functies de afgeleide. Soms moet je eerst het functievoorschrift nog bewerken.

    1. f(x)=x6+8x-12

    2. f(x)=3x4-12x2

    3. f(x)=-1,5x3+4x

    4. f(x)=x(x2-2x)

    5. f(x)=-x5+4x4+2x3-1,5x2+8x-15

    6. f(x)=(2x+1)2

    7. f(x)=12-x2(x-6)

    8. f(x)=(1-x)3

ANS: T



  1. Dit is (een deel van) de grafiek van de functie f(x)=9x+3x2-x3. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb12-os2-c1.jpg

    1. Bereken het hellingsgetal van deze functie in het punt (0,0) met behulp van de afgeleide.

    2. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (0,0).

    3. Er zijn twee punten op de grafiek van f waarin de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan 0. Welke twee punten zijn dat?

    4. De grafiek van f heeft in een bepaald punt een grootste hellingsgetal. In welk punt is dat?

ANS: T



  1. y is een functie van x waarvoor geldt: y=x3-25,5x2+180x+120.

    1. Bepaal de afgeleide van deze functie.

    2. Deze afgeleide heeft twee nulwaarden. Welke betekenis hebben die nulwaarden voor de functie?

    3. Bereken de nulwaarden van de afgeleide y'.

    4. Voor welke waarden van x is de functie dalend?

ANS: T

  1. De volgende functies kunnen ontstaan door transformatie van een bijpassende basisfunctie. Bedenk telkens welke basisfunctie dat is en bepaal dan de juiste afgeleide.

    1. y=5x4

    2. y=6(2x+3)4

    3. f(x)=(x+2)5-100

    4. y(t)=(2t+4)3

    5. h(t)=1-2(6-3t)4

    6. s(t)=12(t-10)+2(t-10)2

ANS: T



  1. Van een functie f is het voorschrift niet bekend. De grafiek van f gaat door het punt (1,6). De raaklijn aan de grafiek van f in dit punt heeft de vergelijking y=4x+2. De grafiek van de functie g(x)=3f(x)+2 gaat door het punt (1,20).
    Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van g in dit punt.

ANS: T

  1. Breng de grafiek van de functie f(x)=0,5(x-2)3+4 met je grafische rekenmachine zo in beeld als je hier ziet. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb13-op3-s1.jpg

    1. De grafiek heeft een symmetriepunt. Welk punt is dat?

    2. Laat met behulp van de afgeleide zien waarom dit een symmetriepunt is.

    3. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het nulpunt van de grafiek van f.

ANS: T


  1. De grafiek van de functie f(x)=(12)x+4 kun je maken door de grafiek van g(x)=2x eerst te vermenigvuldigen in de x-richting en dan 4 eenheden te verschuiven in de positieve y-richting.

    1. Met welke factor moet je de grafiek van g vermenigvuldigen?

    2. De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van g voor x=1 is ongeveer y=1,38x+0,62. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x=-1.

    3. Waarom kun je f'(1) niet vinden met behulp van g'(1)?

ANS: T


  1. Gegeven is een functie f(x) met f'(1)=2,75.
    Bereken g'(1) als g(x)=f(3x-2).

ANS: T

  1. Van een functie f is gegeven dat f(10)=350 en f'(10)=-12.
    Bepaal een lineaire benadering van f(10,3).

ANS: T




  1. Differentieer de volgende functies

    1. f(x)=(3x+6)5-20

    2. g(x)=16-2(x-1)4

    3. K(q)=200+(60+3q)3

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=a(x-b)5 met a≠0 en b≠0.

    1. Hoe kun je de grafiek van f door transformatie laten ontstaan uit die van y=x4?

      1. Verschuiven in de x-richting met b eenheden en vervolgens vermenigvuldigen in de y-richting met factor a.

      2. Verschuiven in de x-richting met -b eenheden en vervolgens vermenigvuldigen in de y-richting met factor a.

      3. Verschuiven in de x-richting met b eenheden en vervolgens vermenigvuldigen in de y-richting met factor 1a.

      4. Verschuiven in de x-richting met -b eenheden en vervolgens vermenigvuldigen in de y-richting met factor 1a.

    2. Druk f'(2) uit in a en b.

ANS: T



  1. De grafiek van de functie g(x)=(13)x+5 kan door transformatie ontstaan uit die van f(x)=3x.

    1. Welke transformaties moet je dan toepassen?

      1. Eerst vermenigvuldigen met 13 in de x-richting en dan de grafiek 5 eenheden in de positieve y-richting verschuiven.

      2. Eerst vermenigvuldigen met -1 in de x-richting en dan de grafiek 5 eenheden in de positieve y-richting verschuiven.

      3. Eerst vermenigvuldigen met -1 in de y-richting en dan de grafiek 5 eenheden in de positieve y-richting verschuiven.

    2. De raaklijn aan de grafiek van f voor x=0 heeft de vergelijking y=1,1x+1. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van g voor dezelfde waarde van x.

ANS: T

ANS: T



  1. De slingertijd van de slinger van een klok wordt gegeven door T=2π⋅lg waarin T de slingertijd in seconden en l de lengte van de slinger in meter is. De constante g noem je de gravitatieconstante en is ongeveer 9,8 m/s2.

    1. Een bepaalde klok loopt goed als zijn slingertijd 1 seconde bedraagt. Hoe lang moet de slinger dan zijn?

    2. Benader met je grafische rekenmachine T'(l) voor de bij a berekende lengte van de slinger.

    3. De lengte van de slinger neemt door uitzetting met 1% toe. Schat met een lineaire benadering met hoeveel seconden de slingertijd toeneemt.

ANS: T

  1. Je ziet hier de grafiek van de functie f(x)=x4-8x2.
    Bereken met behulp van differentiëren alle extremen van deze functie.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb14-op1-c1.jpg



ANS: T

  1. Gegeven zijn de functies f(x)=4000-10x2 en g(x)=(x-10)(x2-400).

    1. Om de grafieken van beide functies in beeld te krijgen op je grafische rekenmachine moet je de instellingen nogal aanpassen. Bereken eerst de nulpunten van beide functies.

    2. Nu weet je welke waarden voor x je het beste kunt instellen. Bereken de extremen van beide functies.

    3. Je kunt nu de grafieken natuurlijk heel mooi in beeld krijgen. Los op: f(x)≥g(x).

ANS: T



  1. Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is 400 m. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is. Bereken exact de afmetingen van dit sportveld.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb14-op3-t1.jpg



ANS: T

  1. Een fabrikant van zelfrijzend bakmeel verkoopt dat voor € 2,25 per kilogram. Voor de kosten TK voor productie en opslag geldt:

    q (in honderden kg)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    TK (in euro)

    75

    100

    125

    200

    400

    800

    1. Hoeveel stijgt de winst gemiddeld per kilogram als de productie toeneemt van 400 naar 500 kg?

    2. Voor de kosten heeft de fabrikant de formule TK=10q3-60q2+130q laten opstellen. Ga na dat deze formule past bij de gegevens in de tabel.

    3. Stel een formule op voor de winst als functie van q.

    4. Bereken de marginale winst bij een productie van 400 kilo met behulp van MW(q)=TW'(q). Welke economische betekenis heeft dit getal?

    5. Bereken de maximale winst met behulp van de functie MW.

ANS: T



  1. Gegeven is voor elke waarde van a de functie f(x)=x4-ax2.

    1. Voor welke waarden van a is het minimum van deze functie gelijk aan -1?

    2. De raaklijn aan de grafiek van f voor x=1 gaat door het punt (0,4). Voor welke waarde van a is dit het geval?

ANS: T



  1. Voor elke positieve waarde van p bestaat er een functie van de vorm f(x)=x3-6px2-16.

    1. Heeft elk van die functies extreme waarden? Licht je antwoord toe.

    2. Voor welke waarde van p heeft de gegeven functie een uiterste waarde van -32? Is het dan een minimum of een maximum?

ANS: T


  1. Bereken bij deze functies de extremen met behulp van een tekenoverzicht van de afgeleide.

    1. f(x)=-x4+2x3

    2. y=x2(x-6)

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=4x5-80000x2+2557.

    1. Bepaal de extreme waarden van deze functie met behulp van de grafische rekenmachine.

    2. Bereken de extremen met behulp van differentiëren.

    3. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f(x)=0?

ANS: T



  1. Van een vierkant stuk karton wordt een bakje gemaakt door in de hoeken vierkantjes in te knippen en de randen om te vouwen. Die vierkantjes dienen dan als plakrandjes. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb14-os3-t1.jpg

    1. Stel dat de zijde van het ingeknipte vierkantje x wordt genoemd. Welke formule kun je dan opstellen voor de inhoud I van dit bakje?

    2. Welke waarden kan x allemaal aannemen?

    3. De maximale inhoud van dit bakje kun je berekenen met behulp van de grafische rekenmachine en met behulp van differentiëren. Doe dit op beide manieren.


ANS: T

  1. Functies van de vorm f(x)=ax3+bx+c noem je derdegraads functies zolang a≠0.

    1. Hoe noem je deze functies als a=0?

    2. Neem verder aan dat a≠0. Sommige van deze functies hebben extreme waarden. Druk de bijbehorende waarden van x uit in a en b.

    3. Voor welke waarden van a en b zijn er inderdaad extreme waarden?

ANS: T


  1. Hier zie je de grafiek van f(x)=x3-3x2+6 met daarin de buigraaklijn, de raaklijn in het buigpunt, getekend. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb15-ot2-c1.jpg

    1. Welke coördinaten heeft het buigpunt?

    2. Welke richtingscoëfficiënt heeft deze raaklijn?

    3. Stel een vergelijking op van de getekende buigraaklijn.

ANS: T



  1. Van een functie zijn de tekenschema’s van f(x), van f'(x) en van f''(x) gegeven door deze figuren.

    http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb15-ot3-t1.jpg


    1. Hoeveel buigpunten boven de x-as heeft de grafiek van f?

    2. Schets een mogelijke grafiek van f.

ANS: T

  1. Vaak is de opbrengst TO bij de productie van een bepaald artikel afhankelijk van de ingezette arbeidstijd a (in uren per dag). Een dergelijk verband kan worden beschreven door de functie TO(a)=-13a3+8a2.

    1. Bekijk de grafiek van TO. De opbrengst stijgt in het begin progressief (steeds sterker). Schat tot hoeveel ingezette arbeidstijd dat ongeveer zo is.

    2. Het antwoord op de voorgaande vraag kun je nauwkeurig berekenen met behulp van differentiëren. Laat zien hoe dat gaat.

    3. Hoeveel bedraagt de grootste opbrengststijging per uur?

ANS: T

  1. Functies kunnen meerdere buigpunten hebben. Hier zie je de grafiek van de functie f(x)=x3(x2-100). http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb15-ot5-c1.jpg

    1. Bereken de exacte extremen van deze functie.

    2. Bereken de exacte buigpunten van deze grafiek.

ANS: T

  1. Bepaal met behulp van differentiëren van de volgende functies alle buigpunten.

    1. f(x)=0,5x3+6x2-90

    2. y(x)=4x2-0,5x4

ANS: T



  1. Gegeven zijn de functies f(x)=x2 en g(x)=0,25x2(x2-144). http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb15-op2-s1.jpg

    1. Je ziet hier hoe de grafieken van beide functies er op de grafische rekenmachine uit kunnen zien. Hoe moet je het venster dan instellen?

    2. Los op: f(x)>g(x)

    3. Bereken de exacte buigpunten van de grafiek van g.

    4. De grafiek van g heeft twee buigraaklijnen die elkaar snijden op de y-as. Bereken de exacte coördinaten van dat snijpunt.

ANS: T



  1. Een ondernemer maakt een bepaald product waarop hij het monopolie heeft. Voor zijn productiekosten (in honderden euro) geldt de formule TK=0,5q3-4q2+11q+4 waarin q de geproduceerde hoeveelheid in honderden kilogram is.

    1. De snelheid waarmee de kosten stijgen is eerst afnemend, later toenemend. Er is een punt in de grafiek waarbij die snelheid van afnemend naar toenemend omslaat.
      Bij welke productie zit het omslagpunt? Rond je antwoord af op hele kilogrammen nauwkeurig.

    2. De hoeveelheid product die hij aanbiedt aan zijn afnemers heeft invloed op de prijs. Er geldt: p=11-q waarin p de prijs in honderden euro is. Ga er van uit dat deze ondernemer zijn totale productie ook verkoopt. Bij welke productie is zijn winst maximaal? Licht het antwoord toe met behulp van differentiëren.

ANS: T


  1. Dit is de grafiek van de afgeleide van een functie. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb15-op4-c1.jpg

    1. Bij welke waarden van x heeft deze functie extremen?

    2. Bij welke waarden van x heeft de grafiek van deze functie een buigpunt?

    3. Heeft de buigraaklijn een positieve of een negatieve richtingscoëfficiënt?

ANS: T



  1. Gegeven is de functie f(x)=x4+ax2 met een constante a>0.

    1. Laat zien, dat deze functie voor elke waarde van a een minimum heeft.

    2. Toon aan dat deze functie voor geen enkele a een buigpunt heeft.

ANS: T




  1. Onderzoek telkens of de functie met het genoemde functievoorschrift een buigpunt heeft. Zo ja, bereken de coördinaten van dit buigpunt.

    1. f(x)=x3-6x2+12

    2. y=0,25x4-5x3

ANS: T



  1. Van een functie f is de afgeleide gegeven door f'(x)=4x-0,5x2.

    1. Bereken de x-waarde van het buigpunt.

    2. Op grond van deze afgeleide kun je een schets maken van de grafiek van de functie als je weet dat de y-waarde van het buigpunt 10 is. Maak een mogelijke schets van de grafiek vanf?

    3. Stel een vergelijking op van de buigraaklijn van de grafiek van f.

ANS: T



  1. Een verffabriek gebruikt de functie TK=0,5q3-3q2+6q voor de productiekosten voor een bepaald soort verf. Hierin is q de hoeveelheid geproduceerde verf in duizenden liters per dag en verder stelt TK de kosten in duizenden euro voor.

    1. De marginale kosten zijn de meerkosten per liter die ontstaan bij de productie van 1 liter extra. Bereken de marginale kosten bij een productie van 3000 liter verf per dag.

    2. Je kunt de marginale kosten goed benaderen met behulp van de afgeleide: MK=TK'. Bereken ook op deze manier de marginale kosten bij een productie van 3000 liter per dag.

    3. De ondernemer produceert het liefst een hoeveelheid waarbij de marginale kosten minimaal zijn. Bij welke productie in liter per dag is dat het geval? Bereken het antwoord algebraïsch.

ANS: T

  1. Gegeven is de derdegraadsfunctie f met voorschrift
    f(x)=x3+9x2-15x+5.

    1. Breng de grafiek van f in beeld op je grafische rekenmachine. Welke nulpunten kun je aflezen?

    2. Bereken algebraïsch de andere twee nulpunten in twee decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoorden met je rekenmachine.

    3. Bereken ook algebraïsch de toppen en het buigpunt van f in twee decimalen nauwkeurig.

    4. In welke punten van de grafiek van f heeft de raaklijn een richtingscoëfficiënt van -5?

    5. Welk hellingsgetal heeft de grafiek van f in het snijpunt met de y-as?

ANS: T



  1. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op:

    1. x2(x-2)=3x-6

    2. 0,5x4+4x3-6x=48

    3. 0,25x6=4x3-15

    4. x3-x2-2x+2=0

ANS: T



  1. Gegeven is de familie van functies fp door het voorschrift fp(x)=px4-2x2+8p.

    1. Bepaal algebraïsch de nulpunten, de toppen en de buigpunten van de grafiek van f1.

    2. Voor welke waarden van p raakt de grafiek van fp de x-as?

    3. Voor welke waarden van p liggen de buigpunten van de grafiek van fp op de x-as?

ANS: T



  1. Gegeven zijn de functies f(x)=x2 en ga(x)=x+a. In de figuur zie je de grafieken van f en g4. Functie ha is gegeven door ha=f(x)⋅ga(x). http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb16-op4-c1.jpg

    1. Beredeneer dat de grafiek van h4 door de punten O, A, B en C moet gaan.

    2. Bereken de uiterste waarden van h4.

    3. De snijpunten van de grafieken van ha en ga liggen op drie rechte lijnen. Welke?

    4. Bewijs dat de toppen van de grafieken van ha op de kromme lijn met vergelijking y=-12x2 liggen.

ANS: T



  1. Gegeven zijn de functies fc door fc(x)=cx(x+6)2. Bekijk de grafieken van deze familie van functies op het domein [-8,1].

    1. Bereken algebraïsch de extremen van f1 op dit domein.

    2. Alle functies fc hebben een extreme waarde voor -6

    3. Druk de coördinaten van de buigpunten van de grafiek
      van fc uit in c.

    4. Voor welke waarde van c gaat de raaklijn aan de grafiek van fc in het buigpunt door het het punt (0,80)?

ANS: T


  1. Gegeven is de functie f(x)=10x-40x2-10.
    Bekijk de grafiek van f op de rekenmachine, voor -10≤x≤10.

    1. Welke drie asymptoten heeft de grafiek van f? Leg uit hoe deze asymptoten uit het functievoorschrift zijn af te leiden.

    2. Bepaal het bereik van f in één decimaal nauwkeurig.

    3. Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f(x)=p precies twee oplossingen?

    4. De lijn y=10x-40 snijdt de grafiek van f van links naar rechts in drie punten A, B en C. Welke van de drie lijnstukken OA, OB of OC is het langst?

ANS: T


  1. Voor het bouwen van een eenvoudige fietsenstalling is 40 m2 golfplaat beschikbaar. Daarmee worden beide zijwanden, de achterwand en de bovenkant bekleed. Het geraamte van het bouwsel wordt zo gemaakt dat een zuiver rechthoekig blok ontstaat, dat even hoog als diep is. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb16-op7-t1.jpg

    1. Druk l uit in x en leid zo een formule af voor de inhoud van het rechthoekige blok als functie van x.

    2. Welke waarden kan x aannemen?

    3. Welke waarden kan de inhoud van de fietsenstalling aannemen?

ANS: T


  1. Gegeven zijn de functies f(x)=x4-6x2+8 en g(x)=-2x2+20.

    1. Bereken algebraïsch de nulpunten en extremen van de functie f.

    2. Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafieken van f en g.

    3. Los op: f(x)

    4. Onderzoek hoeveel waarden voor x er zijn waarvoor beide grafieken dezelfde helling hebben.

ANS: T



  1. Los op: 0,5x3+2x2-3x=6.

ANS: T

  1. Gegeven is voor elke reële waarde van p de functie
    fp(x)=x4-4x3+px2 met het domein ℝ.

    1. Bereken de nulpunten, de toppen en de buigpunten van de grafiek van f4.

    2. De lijn y=mx en de grafiek van f4 hebben precies drie punten gemeenschappelijk. Bereken m.

    3. Voor welke waarden van p heeft fp precies drie extremen?

ANS: T



  1. Op het domein [-1,3] zijn de volgende functies gegeven:
    f(x)=(x-2)2(2x+1) en ga(x)=a(2x+1).

    1. Los op: f(x)=g2(x).

    2. Bereken algebraïsch de nulpunten, de toppen en het buigpunt van de grafiek van f.

    3. Voor welke waarden van a heeft de vergelijking f(x)=ga(x) twee oplossingen?

    4. Er zijn waarden van a waarvoor geldt dat een aantal lijnen, evenwijdig aan de grafiek van ga, de grafiek van f raken. Voor welke waarden van a is dat niet het geval?

ANS: T

  1. Differentieer de volgende functies:

    1. f(x)=4x5-12x2+60x+100

    2. E(t)=1+t+t22+t36+t424

    3. f(x)=(ax+b)12

    4. GTK(q)=0,5q3+20q2+60qq

ANS: T



  1. Bekijk de grafiek van f(x)=2x3-x4 op het interval [-1,5;2,5].

    1. De grafiek heeft twee punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Toon met behulp van differentiëren aan, dat er toch maar één extreme waarde is.

    2. De grafiek van f heeft behalve (0,0) nog een buigpunt. Bereken de coördinaten van dat punt.

    3. Stel de raaklijn op aan de grafiek in het bij b bedoelde buigpunt.

ANS: T



  1. Gegeven zijn de functies f en g met voorschriften
    f(x)=0,5x3-2x en g(x)=-x2-1,5x+1.

    1. Beredeneer dat de grafieken van deze twee functies elkaar maximaal drie keer kunnen snijden.

    2. Bereken de snijpunten van beide grafieken

    3. Bereken de extremen van beide functies met behulp van differentiëren.

    4. Laat zien dat (0,0) het buigpunt is van de grafiek van f.

    5. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het buigpunt. Bepaal de twee snijpunten van deze raaklijn met de grafiek van g in twee decimalen nauwkeurig.

ANS: T



  1. Een fabriek produceert opvouwbare autopeds voor volwassenen als vervoermiddel in grotere bedrijfshallen. Het bedrijf heeft als enige producent een monopoliepositie. Daarom hangt hun afzet q (in duizendtallen) uitsluitend af van de prijs p in euro: q=12-0,1p. De kosten voor de productie van deze autopeds zijn gegeven door een door de bedrijfswiskundige opgesteld model: TK=1,5q3-22,5q2+120q. Hierin is TK gegeven in duizendtallen euro.

    1. Toon aan dat geldt: p=120-10q. Welke waarden kan q aannemen?

    2. Stel een formule op voor de opbrengst TO als functie van q.

    3. Stel een formule op voor de winst TW als functie van de afzet q.

    4. Bepaal met behulp van differentiëren de prijs van één autoped bij maximale winst.

    5. Geef een formule voor de gemiddelde totale kosten GTK als functie van q. Bepaal met behulp van differentiëren bij welke afzet GTK minimaal is.

ANS: T



  1. Gegeven is voor elke reële waarde van p de functie
    f(x)=x4-4x3+px2.

    1. Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f precies één minimum?

    2. A is het punt op de grafiek van f met x-waarde 1. De rechte lijn met vergelijking y=ax raakt de grafiek van f in het punt A. Welke waarde heeft p in dit geval?

ANS: T




  1. Je ziet hier de grafiek van de functie met voorschrift
    f(x)=100x2-400x4+100. http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb17-os6-c1.jpg

    1. Bepaal het bereik van f in twee decimalen nauwkeurig.

    2. Los exact op: f(x)≤80x2.

    3. Los algebraïsch op: f(x)≤1f(x). Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

ANS: T



  1. Gegeven is de functie f door f(x)=x(6+x)(10-x)2.

    1. Bereken algebraïsch de toppen en de buigpunten van de grafiek van f.

    2. Voor welke waarden van p heeft de lijn y=p precies drie punten met de grafiek van f gemeen?

    3. De raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong van het assenstelsel snijdt de grafiek in nog twee andere punten. Bereken de coördinaten van die punten in één decimaal nauwkeurig.

ANS: T



  1. Een bedrijf maakt plastic bakjes: bodem en zijvlakken van deze bakjes zijn rechthoeken; de breedte van de bakjes is tweemaal zo groot als de hoogte. Om de bakjes te verstevigen wordt een gebogen metaaldraad met een lengte van 120cm aangebracht zoals in de tekeningen is aangegeven.

http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb17-oa1-t1.jpg


http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb17-oa1-t2.jpg




    1. Bereken de maximale inhoud die deze bakjes kunnen krijgen.

    2. Als het goed is blijkt bij a dat de lengte van het bakje viermaal zo groot is als de hoogte. Toon aan dat bij elke draadlengte een maximale inhoud ontstaat als de breedte tweemaal de hoogte en de lengte viermaal de hoogte is.

ANS: T



  1. Onder een piramidevormig dak wil je een rechthoekige ruimte bouwen met een zo groot mogelijke inhoud. In de figuur zie je hoe dit er uit komt te zien. Het grondvlak van de ruimte is een vierkant.
    Welke afmetingen krijgt deze ruimte? http://www.math4all.nl/mathadoreopgaven/images/vb-bb17-oa3-t1.jpg

ANS: T
  1   2   3


Dovnload 325.54 Kb.