Thuis
Contacten

    Hoofdpagina


Tonen en verhoudingen

Dovnload 1.51 Mb.

Tonen en verhoudingen



Pagina6/17
Datum13.04.2019
Grootte1.51 Mb.

Dovnload 1.51 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Toonsystemen


In feite hebben we nog maar een (klein) gedeelte van het toonsysteem van Pythagoras bekeken. Wat gebeurt er bijv als je vanuit de toon die helemaal rechts in tabel 3 staat (de B) weer een kwint omhoog gaat, en dan weer een kwint omhoog (of een kwart omlaag als dat zo uitkomt)



    1. Laat zien de toon die een kwint boven de B ligt een frequentie heeft die tussen die van de F en de G in ligt. Deze toon noemt de Fis (verhoogde F)

    2. Vul de volgende tabel verder in. Zorg dat de frequenties tussen de 220 en 440 Hz liggen, en ga na of je (de ingevulde) tabel 3 kunt gebruiken.


Tabel 5

Toon

B

Fis

Cis

Gis

Dis

Ais

Eis

Bis

Frequentie

247,5






















Relatief t.o.v. A4






















Je kunt je afvragen of je op den duur weer de zelfde toon terugkrijgt.

Het antwoord hang af van de vraag of je bedoelt precies de zelfde toon, of bij benadering.

We gaan eerst kijken of we precies zelfde toon kunnen terugkrijgen.



We gaan steeds een kwint omhoog of een kwart omlaag, we vermenigvuldigen dus steeds met 3 en delen steeds een of twee keer door 2 . De vraag is dus: Is het mogelijk dat

A
nders geschreven is het mogelijk dat 3×3×…×3 = 2×2×…×2×2 ?

(het aantal tweeën is groter dan het aantal drieën)



  1. Geef een reden waarom dit onmogelijk is

We kunnen wel in de buurt komen.



    1. Vergelijk de Bis uit tabel 5 met de centrale C ( zie eventueel bijlage 1)

    2. Laat zien dat 12 kwinten omhoog bijna het zelfde is als 7 octaven omhoog

    3. Wat is het verband tussen beide vorige vragen (en antwoorden)?

    4. Wanneer je 12 kwinten omhoog gaat en 7 octaven om laag krijg je niet precies de zelfde toon. Bereken hoeveel het scheelt.

Vaak wordt gedaan of je na 12 kwinten (en 7 octaven omlaag) weer de zelfde toon krijgt. Men spreekt dan van de kwintencirkel.

Het belangrijkste probleem van dit toonsysteem gebaseerd op zuiver kwinten is echter de valse terts. Door de kwinten net niet helemaal zuiver te stemmen zijn de loop van de 15e – 17e eeuw stemmingen ontwikkeld met zuivere tertsen.
Hoewel zuivere kwinten en tertsen elkaar lijken te ‘bijten’ zijn er in de 18e eeuw zijn toonsystemen ontwikkeld gebaseerd op zuivere kwinten en zuivere tertsen.

(Rameau ; Euler).

De basis wordt gevormd door de drieklank C E G, een bekend grote terts akkoord.

We zetten echter de tonen niet allemaal naast elkaar, maar in een 2-dimensionaal schema:








E










C

G




Horizontaal gaan we (van links naar rechts) steeds een kwint omhoog (en zonodig een octaaf omlaag) Verticaal gaan we een grote terts omhoog (en zonodig een octaaf omlaag)






    1. Vul gebruik makend van de letterlijke betekenis van terts en kwint de letters A, B, D en F op de juiste plek

    2. Bereken de relatieve frequenties t,a,v, de toon linksonder in de tabel.

    3. Bepaal de (exacte) frequentieverhouding B : C

    4. Bepaal de (exacte) frequentieverhouding C : D

    5. Doe het zelfde voor D : E t/m A : B

    6. Ga na wat de verschillen zijn met de verhoudingen die we kregen bij het kwintensysteem van Pythagoras.

Voor in het vakje rechtsboven hebben we eigenlijk een extra naam nodig .Evenals in tabel 5 noemen we deze toon de Fis (van Euler).Extra namen zijn ook nodig wanneer we nog een rij toevoegen. Ga na dat deze namen overeenkomen met die van de zwarte toetsen op een klavier. Deze worden echter meestal ( zoals bij een piano) anders gestemd






    1. Cis

      Gis

      Dis

      Ais

      A

      E

      B

      Fis

      F 1

      C

      G

      D
      Vul in de volgende tabel de juiste relatieve frequenties in. (Zorg dat alle getallen tussen de 1 en 2 blijven)

    2. Laat zien dat de Cis tussen de C en de D inzit

    3. Zet de tonen is volgorde van relatieve frequentie.

Bovenstaand systeem kan in verticale richting (zowel naar boven als naar onderen) en in horizontale richting uitgebreid worden. Als we letten op de frequenties betekent een stap naar rechts een vermenigvuldiging met 3, gevolgd door een deling door 2 of 4. Een stap naar boven betekent een vermenigvuldiging met 5 gevolgd door een deling door 4 of 8.




  1. Je gaat in de tabel een (flink) aantal stappen naar rechts en naar boven.

    1. Leg uit waarom de frequentie wordt vermenigvuldigd met

    2. Ga na of het mogelijk dat je weer op precies de zelfde toonhoogte uitkomt




  1. Je gaat in de tabel een (flink) aantal stappen naar rechts en naar
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


Dovnload 1.51 Mb.